整数规划（分支定界、匈牙利法）_目标函数的低界指什么-程序员宅基地

技术标签： 线性规划  算法  

整数规划

规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中， 变量限制为整数，则称为整数线性规划。整数线性规划可以分为下列几种类型：

  1. 纯整数线性规划（pure integer linear programming）：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。有时，也成为全整数规划。
  2. 混合整数线性规划（mixed integer linear programming）：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
  3. 0-1型整数线性规划（zero-one integer linear programming）：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
    目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。

整数规划特点
（i） 原线性规划有优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：
①原线性规划优解全是整数，则整数规划优解与线性规划优解一致。
②整数规划无可行解。
③有可行解（当然就存在优解），但优解值变差。
（ii） 整数规划优解不能按照实数优解简单取整而获得。

求解方法分类

（i）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。

（ii）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。

（iii）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：
①过滤隐枚举法；
②分枝隐枚举法。
（iv）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。

（v）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。

下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。
本文只介绍分支定界法和匈牙利法。

分支定界法

首先不考虑变量的整数约束，设出它相应的松弛线性规划问题B进行求解。如果最优解不满足整数规划问题A的整数条件，这也意味着松弛线性规划问题B的最优目标函数必然是它的整数规划问题A最优目标函数的下界。而A的任意可行解的目标函数值则是最优目标函数的上界。所谓分支定界法就是缩小上界，增大下界来得到最优目标函数(通俗点说就是给B问题不断添加约束条件，直到有符合整数条件的最优解)。

分支定界是当前求解整数规划精确解的常用算法。

操作步骤有以下三步：

如图可行域为OABCDE，设最优解在C处，此时Xr不是整数，我们就考虑从可行域中划分出不相交的两部分(Sub1和Sub2)，除去的部分要求包含最优解C而且不包含任何整数解的区域。

这样用原来的目标函数，构造两个子问题Sub1和Sub2。
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  1. 分支
    由于这两个子问题的可行域都是原线性规划问题的子集，这两个子问题的最优解的目标函数值都不会比原线性规划问题的最优解的目标函数值大。
    如果这两个问题的最优解仍不是整数解，则继续选择一个非整数的变量，继续讲这个子问题分解为两个更下一级的子问题。这个过程被称为“分支”。

  2. 定界

  3. 比较和剪枝
    每一次分支得到的子问题最优解的目标函数值，都小于或等于分之前的最优解的目标函数值。非整数解的最大值作为新的上界。

确定整数解的目标函数值上下界不断更新，“剪除”目标函数值小于下界的分支的过程，称为定界。
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匈牙利法（指派问题）

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指派问题模型为一个0-1规划模型。
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标准的指派问题是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的0-1规划问题和特殊的运输问题。匈牙利解法的关键是利用了指派问题最优解的性质：若从指派问题系数矩阵的某行(或某列)各元素分别减去一个常数k，得到新的矩阵与原矩阵有相同的最优解。

对于指派问题，由于系数矩阵均为非负，故若能载系数矩阵中找到n个不同行和不同列的0元素(独立的0元素)，则对应的指派方案总费用为0，从而一定是最优的。
　　
例题
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1. 减去最小数

费用矩阵每行减去该行的最小数，使最小数变0
费用矩阵每列减去该列的最小数，使最小数变0
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2. 试分配
先找0最少的行，给0画圈，划去与圈同行以及同列的0
再找0最少的列，给0画圈，划去与圈同行以及同列的0
不断进行以上这组操作，直到所有的0被圈掉或划掉。
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无O行打√
新打√行找0,对有0列打√
新打√列找O,对有O行打√
　　反复2和3,直到打不出√。最后，对无√行划横线,有√列划竖线，构成覆盖零的最少直线
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3. 匈牙利法：找覆盖0的最少直线(直线数与圈数相符)
　　令 为未覆盖数中最小者(此例中是1)
　　1. 未覆盖数 统一减去
　　2. 单线覆盖数保持不变
　　3. 双线覆盖数统一加上
　　（打√ 行减 ，打√ 列加 ）
得到：
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对这个新的费用矩阵用圈0划0，使用匈牙利法.
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得到：
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于是，可以安排：甲——B；乙——C；丙——D；丁——E；戊——A

总费用最小为：5+7+6+6=28。
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