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前言

语言是满足一定组成规则的句子集合，句子是满足一定组成规则的单词序列，单词则是满足一定组成规则的字符串。这些组成规则就是文法中的产生式。
语法分析(syntax analysis)是编译程序的核心部分，其任务是检查词法分析器输出的单词序列是否是源语言中的句子，亦即是否符合源语言的语法规则。无论是自顶向下还是自底向上，语法分析器都是自左到右地扫描输入单词序列，每次读入一个单词，针对输入单词序列建立一颗语法分析树。

一、自顶向下文法

自顶向下语法分析的基本思想：
从文法的开始符号出发，寻求所给的输入符号串的一个最左推导。即从树根S开始，构造所给输入符号串的语法树。

例:设有

$$G：S\to xAy,A\to \ast \ast |\ast ，输入串：x\ast \ast y$$
则分析为：
$$S\to xAy\to x\ast \ast y$$
语法树为：

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二、自顶向下面临的问题

1.二义性问题

1.1 二义性定义:对于文法G，如果L(G)中存在一个具有两棵或两棵以上分析树的句子，则称G是二义性的。也可以等价地说：如果L(G)中存在一个具有两个或两个以上最左(或最右)推导的句子，则G是二义性文法。

1.2 二义性问题产生的背景:假设w∈L(G)且w存在两个最左推导，则在对w进行自顶向下的语法分析时，语法分析程序将无法确定采用w的哪个最左推导。则该文法出现二义性问题。

1.3 二义性问题示例:
假设有文法G如下：
$$G:E\to id|c|E+E|E–E|E\ast E|E/E|E\ast \ast E|(E)$$
根据文法G对以下句子进行分析：

$$id1+c\ast id2$$
则会产生两个不同的语法树：
语法树一：语法树二：

2.二义性问题解决方案

解决办法1：改造文法，引入新的文法变量
将文法G$$G:E\to id|c|E+E|E–E|E\ast E|E/E|E\ast \ast E|(E)$$
改造为：

 G:    E → E+T | E-T| T
		T → T*F | T/F | F
		F → F↑P | P 
		P → c | id | (E)  

解决办法2：根据优先级关系，保证高优先级运算符优先的原则。

3.左递归问题

3.1 左递归定义：如果存在推导A —> αAβ，则称文法G是递归的，当α=ε时称之为左递归。
补充：如果A —> αAβ至少需要两步推导，则称文法G是间接递归的，当α=ε时称之为间接左递归；如果文法G中存在形如A —> αAβ的产生式，则称文法G是直接递归的，当α=ε时称之为直接左递归。

3.2 左递归问题产生的背景：当产生式右部的第一个非终结符为产生式左部的非终结符时，则会产生左递归问题。

3.3 直接左递归问题示例:
例：左递归引起的无穷推导问题：

  Ger：	E→E+T   
		E→T   
		T→F   
		T→T*F    
		F→(E)   
		F→id 

考虑为输入串id+id*id建立一个最左推导：
在建立最左推导时，当推导至E或T时，产生左递归，进而引起无穷推导。

3.4 间接左递归问题示例:
间接左递归例子：

     S → Ac | c
     A → Bb | b
     B → Sa | a

4.左递归问题解决方案

4.1 直接左递归解决方案:

第一步：直接左递归的消除(转换为右递归)
第二步：引入新的变量A’ ，将左递归产生式A→Aα|β替换为A→βA’ A’ →αA’ |ε
上述例子按照解决方案解决之后为：

4.2 间接左递归解决方案:

消除间接左递归的基本思想：1、为语法变量编号；2、再采用带入法将间接左递归变为直接左递归；3、然后采用上述方法来消除直接左递归。
步骤：

1．将G的所有语法变量排序(编号)，假设排序后的语法变量记为A1，A2，…，An；
2．for i←1 to n {
    
3．	for j←1 to i-1 {
    
4．        对每个形如Ai→Ajβ的产生式，其中，Aj→α1|α2|…|αk是
           所有当前Aj产生式，用产生式Ai→α1β|α2β|…|αkβ替换
5．     }
6．     消除Ai产生式中的所有直接左递归
7．	} 

伪代码解析：
i=1时，3-5行的循环体不执行，此时执行第6行的消除左递归操作，消除了所有A1变量的直接左递归
此时，A1的所有的具有A1→Abα形式的产生式，必有b>1。

再看i=2，A2的右部最左元素是变量的产生式形式可能是A2→A1α | A2β | A3γ|……
已知，当前的A1的右部最左元素是变量的产生式形式是A1→A2α’ | A3β’|……
经过第4行的替换操作， A2的所有的具有A2→Abα形式的产生式，必有b>=2。
执行第6行的消除直接左递归后，A2的所有具有A2→Abα形式的产生式，必有b>2。

i=3，A3的右部最左元素是变量的产生式形式可能是A3→A1α | A2β | A3γ|……
已知，当前的A1 的右部最左元素是变量的产生式形式是A1→A2α’ | A3β’|……，
当前的A2 的右部最左元素是变量的产生式形式是A2→A3α’ | A4β’|……
经过第4行的替换操作， A3的所有的具有A3Abα形式的产生式，必有b>=3。
执行第6行的消除直接左递归后，A3的所有具有A3Abα形式的产生式，必有b>3。

以此类推，i=n，经过第4行的替换操作， An的所有的具有An→Abα形式的产生式，必有b>=n。
执行第6行的消除直接左递归后，An的所有具有An→Abα形式的产生式，必有b>n。换句话说，已经消除了左递归。

对上述间接左递归例子的消除步骤详解为：

     S → Ac | c
     A → Bb | b
     B → Sa | a

语法变量排序：B、A、S
i = 1时，B → Sa | a 无直接左递归；
i = 2时，A →Bb | b，替换变量B后得到，A→Sab|ab|b；
i = 3时，S→Ac|c，替换变量A后得到S→Sabc|abc|bc|c；
然后执行消除直接左递归操作。

5.回溯问题

5.1 回溯问题定义：文法中每个语法变量A的产生式右部称为A的候选式。如果A有多个候选式存在公共前缀，则自顶向下的语法分析程序将无法根据当前输入符号准确地选择用于推导的产生式，只能试探。 当试探不成功时就需要退回到上一步推导，看A是否还有其它的候选式，这就是回溯(backtracking)。

5.2 回溯问题示例：
有以下文法G：

Ge：	E→T   
    	E→E+T   
		E→E-T   
 		T→F   
 		T→T*F   
		T→T/F  
		F→(E)   
		F→id 

考虑为输入串id+id*id建立最左推导：
在推导过程中，因为采用的是自顶向下的语法分析，因此判断E采用E→E-T ，发现不行，则需要进行回溯，直至找到E→E+T产生式。

6.回溯问题解决方案

6.1 回溯问题解决思路采用提取左因子的方法来改造文法，以便减少推导过程中回溯现象的发生。当然，单纯通过提取左因子无法彻底避免回溯现象的发生。

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总结

确定的自顶向下分析的文法要求有以下三个：

1. 无二义性；
2. 无左递归；
3. 任意一个语法变量A的各个候选式所能推导出的第一个终结符必须各不相同。
4. 链接: 编译原理-文法的定义与分类.
5. 链接: 编译原理-正则文法与正则表达式的相互转化.