前言

在c++的标准头文件中，‘math.h’并没有直接提供高斯随机数的生成函数。‘math.h’头文件主要包含了数学函数和常量的声明，例如三角函数、对数函数和指数函数等。要生成高斯随机数，你可以使用c++标准库中一个名为‘rand()’的函数，可以用于生成伪随机数，这个函数在‘<stdlib.h>’头文件中声明。生成的伪随机数服从均匀分布，通过采样足够多的样本，依据中心极限定理便可得到高斯随机数。

中心极限定理

中心极限定理是概率论中的一个重要的定理，它描述了当从任意分布中抽取大量样本时，样本均值的分布将近似服从于正态分布。

生成算法

高斯随机数又可以称为高斯白噪声，它是一种最为随机的噪声，存在于许多自然或工程领域中。首先定义rand(A)函数表示为能够产生在区间$[0,A]$上的一个随机值的随机数发生器，它在该区间上满足均匀分布。一般区间右边界$A$的值可取$2^{15}-1$（单精度浮点数）或$2^{31}-1$（双精度浮点数）。假设$X$是一个随机数，将随机变量$X$进行归一化可以构造出随机变量$Z$：
$$Z=\frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}}(1)$$
式(1)中，$E(X)$为$X$的数学期望，$Var(X)$为$X$的方差。假设对任意$i=1,...,n$，$X_i$均在区间$[0,A]$上服从均匀分布，因此有：
$E(X_i)=\frac{1}{2}A(2)$
$Var(X_i)=\frac{1}{12}{A}^2(3)$
$E({\sum }_{i=1}^n{X}_i)=\frac{n}{2}A(4)$
$Var({\sum }_{i=1}^n{X}_i)=\frac{n}{2}{A}^2(5)$

通过概率论中心极限定理生成服从高斯噪声的随机数。生成过程如下：对于公式(1)，假设$X$是由$n$个具有相同分布的随机变量相加得到的结果，记为$X={\sum }_{i=1}^n{X}_i$，当随机变量的样本足够大时，即$n\to \infty$，公式(1)中随机变量$Z$服从均值为0，方差为1的高斯分布。把服从高斯分布的随机变量记为$Z_n$,
$$Z_n=\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-\frac{1}{2}A}{\sqrt{\frac{n}{12}}A}=\frac{1}{A}\sqrt{\frac{12}{n}}\sum _{i=1}^n{X}_i-\sqrt{3n}(6)$$

c++代码实现

代码需要包含如下头文件

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include<vector>
using namespace std;

生成高斯噪声代码

double generateGaussianNoise() {
    
	double Sum = 0.0;
	int numSample = 1000;  // 采样个数

	for (int i = 0; i < numSample; i++) {
    
		Sum += static_cast<double>(rand());
	}
	// 公式(6)
	double Res = (Sum - numSample / 2.0 * RAND_MAX) / (sqrt(numSample / 12.0) * RAND_MAX);
	return Res;
}

主函数

int main() {
    
	for (int i = 0; i < 1000; ++i) {
    
		double sample = generateGaussianNoise();
		cout << "Sample " << i << ": " << sample << endl;
	}
	return 0;
}

验证结果

利用generateGaussianNoise()生成多个随机数，求取其均值和方差，看其是否为0和1。
计算均值

double cal_mean(vector<double> val) {
    
	double length = static_cast<double>(val.size());
	double Sum = 0.0;
	for (double num : val)
		Sum += num;
	return Sum / length;
}

计算方差

double cal_Var(vector<double> val) {
    
	double length = static_cast<double>(val.size());
	double mean = cal_mean(val);
	double Sum = 0.0;
	for (double num : val)
		Sum += pow(num - mean, 2);
	return Sum / length;
}

主函数

int main() {
    
	vector<double> Res;
	for (int i = 0; i < 1000; ++i) {
    
		double sample = generateGaussianNoise();
		Res.push_back(sample);
		cout << "Sample " << i << ": " << sample << endl;
	}
	double mean = cal_mean(Res);
	double var = cal_Var(Res);
	cout << "mean: " << mean << endl;
	cout << "var: " << var << endl;
	return 0;
}

打印结果，其均值接近0，方差接近1，验证正确。