智能反射面| 关于UPA信道建模_uniform planar array-程序员宅基地

前言

这篇文章想讲一下智能反射面中 UPA （uniform planar array）的信道建模。之前在智能反射面| Matlab代码实现的信道仿真一文中，很简略地给了一个基本的UPA仿真代码，这篇更详细地说一下关于 面天线 的建模。

当然了， UPA并不只使用于智能反射面中，尽管在科研方向上，为了简化问题，在MIMO问题中大家假设的往往都是线天线阵（ULA），但实际中往往都是二维的UPA天线。而在智能反射面中， 作者们实在无法睁眼说瞎话地假设智能反射面是一个线阵了，毕竟人家名字里都带着一个“面”字还是要“面子”的。也因此，在IRS方向中， UPA阵列的信道建模更普遍。

结论

先说结论，是对需要只需要答案而不求甚解的读者的尊重。

对于一个 $P\times Q$ 的UPA天线阵列，即共有 $P$ 行， $Q$ 列天线。则对于 $(\theta, \phi)$ 方向的响应可以写为( $\theta$ 为水平角，被称为azimuth angle, $\phi$ 为仰角，被称为 elevation angle) ：
$\begin{array}{r} \mathbf{a}(\theta, \phi)=\frac{1}{\sqrt{PQ}}\left[1, \cdots, e^{\jmath \pi(p \sin \theta \sin \phi+q \cos \phi)}, \cdots\right. \left.e^{\jmath \pi((\sqrt{Q}-1) \sin \theta \sin \phi+(\sqrt{P}-1) \cos \phi)}\right]^{T} \end{array} \tag{1}$
其中 $p$ 和 $q$ 代表了第 $p$ 行，第 $q$ 列的天线，注意，是从0行0列开始计数的。另外需要注意的一点是， 这是默认天线以半波长为间隔。如果你看到的指数项是类似于 $e^{\jmath \frac{2\pi}{\lambda}d}$ 之类的形式，其实是一样的，因为我们一般默认 $\frac{1}{2}\lambda$ 。

对于（1），还有一个非常常用且笔者更推荐的形式：

$\mathbf{a}(\theta, \phi)=\mathbf{a}_y(\theta, \phi) \otimes \mathbf{a}_z(\phi) \tag{2}$
其中，
$\mathbf{a}_{y}(\theta, \phi) \triangleq \frac{1}{\sqrt{Q}}[1, e^{\mathrm{j}\pi\sin\theta_l\sin\phi_l}, \dots, e^{\mathrm{j}\pi(Q-1)\sin\theta_l\sin\phi_l}]^T\\ \mathbf{a}_{z}(\phi_l) \triangleq \frac{1}{\sqrt{P}}[1, e^{\mathrm{j}\pi\cos\phi_l}, \dots, e^{\mathrm{j}\pi(P-1)\cos\phi_l}]^T$

这里显然(2)比(1)清爽了很多，很容易验证，两者是等价的。

有了天线响应，那么信道也就非常容易建模了。对于发送端和接收端都是UPA阵列的情况下，多径信道可以写为

$\mathbf{H}=\sqrt{N_{\mathrm{r}} N_{\mathrm{t}}} \sum_{l=0}^{L} \alpha_{l} \mathbf{a}_{\mathrm{r}, l}\left(\theta_{l}, \phi_{l}\right) \mathbf{a}_{\mathrm{t}, l}^{H}\left(\psi_{l}, \gamma_{l}\right)$
简而言之， 对于每一径，信道就是接收的 $\mathbf{a}$ 与发送端的 $\mathbf{a}$ 的共轭转置相乘，再乘上一个标量系数。

UPA详细建模

（1）和（2）是怎么来的呢？事实上，他基于且必须基于下图中的建模：
在这里插入图片描述
如图：

假设UPA建立在yz平面上，且原点为UPA的左下角第一个元素。
$\theta$ 为用户投影到 $x y$ 平面后，与 $x$ 轴夹角
$\phi$ 为用户与 $z$ 轴负半轴夹角。 可以这样理解： UPA天线的一列就是一条直线，用户相当于一个点，那么一条直线+线外的一个点构成了一个平面。那么在这个平面上就是普通的ULA天线的情形。那么决定这列天线响应的就是天线的入射角，显然就是 $\phi$ .

以这样的建模，是可以推出 (1)和（2）式的。

怎么说呢？以 $\phi$ 为例。不考虑UPA的水平方向，比如令 $Q = 1$ ，也就是说只有一列，此时UPA退化为一个ULA。那么我们都知道， ULA的响应是什么呢？是以入射波与ULA的夹角作为入射角。那么在ULA的这个三维建模中，这个入射角，显然，就是且必须是用户与 $z$ 轴负半轴的夹角。因为UPA中的竖直方向其实就是 $z$ 轴，那么竖直方向上的入射夹角就是用户与 $z$ 的夹角。或者，更容易理解的， $z$ 轴与用户，一线一点构成一个平面，这个平面就是ULA的平面。那么谁是入射角，一目了然。

至于 $\theta$ 角为什么这么建模？推导太繁琐了，不写出了，按立体几何再利用远场近似就能推导。这里想说的是其实很简单， (1)中为什么是 $\sin\theta$ 而不是 $\cos\theta$ 呢？因为按照图中的建模， $\theta$ 角的范围显然是-90度到90度之间，而这样 $\cos\theta$ 的取值范围只有[0,1]，但 $\sin\theta$ 的取值范围是[-1,1]。无疑是后者。

响应求导

天线响应对于 $\theta$ 和 $\phi$ 的求导，在推算CRLB或者优化的时候，很有用，那结果是什么呢？利用(2)外加一个经典的结论：

$\mathrm{d}(\mathbf{U}\otimes \mathbf{V}) = \mathrm{d}(\mathbf{U})\otimes \mathbf{V} +\mathbf{U}\otimes \mathrm{d}(\mathbf{V})$

结合（2），很容易有：
$\frac{\partial\mathbf{a}(\theta,\phi)}{\partial\theta}=\left(\mathrm{j} \pi \cos \theta \sin \phi[0,1 \ldots, Q-1]^{T} \odot \mathbf{a}_{y}(\theta, \phi)\right) \otimes \mathbf{a}_{z}(\phi)\\ \frac{\partial\mathbf{a}(\theta,\phi)}{\partial\phi}=\begin{array}{l} \left(\mathrm{j} \pi \sin \theta \cos \phi[0,1 \ldots, Q-1]^{T} \odot \mathbf{a}_{y}(\theta, \phi)\right) \otimes \mathbf{a}_{z}(\phi) +\mathbf{a}_{y}(\theta, \phi) \otimes\left(-\mathrm{j} \pi \sin \phi[0,1, \ldots, P-1]^{T} \odot \mathbf{a}_{z}(\phi)\right) \end{array}$
其中 $\odot$ 是哈达玛积。

本文链接：https://blog.csdn.net/weixin_39274659/article/details/111477860

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