线性代数之矩阵我们需要了解的知识点(增广矩阵矩阵的迹 矩阵的秩阶梯型...)-程序员宅基地

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                                                                      线性代数之矩阵基础点常见概念与示例汇总

矩阵的定义

由m乘n个数(i∈[1,m], j∈[1,n],i、j∈Z)排成的m行n列的数表记作矩阵A:

几点说明:

  • 矩阵,记作A或者,其中它的第i行j列元素 ,叫做矩阵的元(素)。
  • 只有一行的矩阵称之为行矩阵又叫行向量,列向量类似。如

行矩阵:A=(1,4,5),通俗形式

列矩阵: ,通俗形式

:这里的都是数。

  • 只有如果矩阵A和B的行数、列数都相等,则成为同型矩阵。
  • 矩阵A和B相等当且仅当A和B是同型的、每个元素都相等。
  • 对角矩阵 ,它是一个方阵,除了对角线元素外其它元素都为0。它一般表示为:
  • 单位矩阵E(又简写为I),它是一个方阵,除了对角线元素为1外其它元素都为0。由此可见单位矩是特殊的对角矩阵。

  • 元素都是0的矩阵称为零矩阵,记作0。零矩阵分型,不同型的零矩阵不相等。型即“型号”由矩阵的行数和列数决定。

矩阵的运算

矩阵相加

两个同型矩阵A和B相加,即相对应元素相加。这里两矩阵都是m行n列。

不难发现矩阵相加有如下规律:

A+B = B+A (交换律)

A+B+C = A+(B+C)(结合律)

A+(-B) = A - B

A+(-A) = A – A = 0 (这里的零矩阵跟A是同型矩阵)

数乘矩阵

数λ乘矩阵A记作λA或Aλ,即矩阵的每个元素都乘以λ,其形式见下:

不难发现:

(λμ)A=λ(μ)A (结合律)

(λ+μ)A =λA+μA (分配律,含加和乘运算)

λ(A+B)= λA+λB (分配律)

矩阵相乘

设A为    的矩阵,B为   的矩阵,那么称   的矩阵C为矩阵A与B的乘积,记作   ,其中矩阵C中的第   行第    列元素可以表示为:

所示:

 

注意事项:

  • 当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,A与B可以相乘。
  • 矩阵C的行数等于矩阵A的行数,C的列数等于B的列数。
  • 乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

基本性质:

  • (AB)C=A(BC) (乘法结合律)
  • (A+B)C=AC+BC (乘法左分配律)
  • C(A+B)=CA+CB (乘法右分配律)
  • k(AB)=(kA)B=A(kB)(数乘的结合性)
  • 矩阵乘法一般不满足交换律,即AB不一定等于BA。见下示例:

  • (这里E是单位阵)
  • 一般成BA为B左乘A,AB为B右乘A。

应用案例:

矩阵的幂

类似于数的幂,矩阵也可以进行幂运算,比如。这里A显然是个方阵。

不难发现:

对于不同型的矩阵A、B,一般不满足 。当且仅当AB=BA时,即A、B可交换(显然这里A、B是同型方阵)时上式满足。

有了矩阵的乘法,如下方程组可以用矩阵相乘的方式表示:

Y = AX,

矩阵转置

将矩阵的行列的对应元素互换得到的新矩阵叫做该矩阵的转置,记作

不难发现:

(简言之AB的转置等于B先转置乘A的转置,简单的理解AB转置后的型取原B的列在前、原A的行在后,对应B先转置乘A的转置即B列在前、A的行在后)

对于方阵A,如果(即以对角线为轴左右对应元素相同,),则A称为对称矩阵。

矩阵的行列式

方阵A的元素构成的行列式即成为矩阵的行列式,记作|A|或者detA,det是Determinant的缩写。

假设A、B均为n阶方阵,这里有:

(因矩阵数乘是每个元素都乘以λ,这里A是n阶的,所以取行列式时是λ的n次方)

|AB|=|A||B| =|BA|

伴随矩阵

由行列式|A|的代数余子式Aij 的转置所构成的矩阵,见下

叫做矩阵A的伴随矩阵。或者见如下表示:

伴随矩阵的求法:

  • 先按行求出|A|里每个元素的代数余子式
  • 构建矩阵时按列存放。

不难发现:

简要证明

因为这里按照矩阵相乘(行乘列),行列式代数余子式展开两个特性,某行元素乘以其代数余子式等于行列式的值,乘以非对应代数余子式为0。所以AA*的矩阵,所有主对角线元素都是|A|,其它元素均为0)

注:异乘变零定理是某行元素与另一个行的代数余子式相乘之和等于0。

不难证明

矩阵的逆

针对一个n阶的矩阵A,如果存在一个n阶的矩阵B满足AB=BA=E,则称A是可逆的, B是A的逆。这里的B也记作

A可逆则|A|≠0(有定义得知)

如果|A|≠0,则A可逆,且= A*/|A| (由伴随矩阵定义得知)

如果|A|=0,则成矩阵A是奇异矩阵,退化的,反之为非奇异矩阵。

关于矩阵的逆

  • 如果A可逆,则A逆的逆是A,即 () =A,(类似矩阵的转置)
  • 如果A可逆,λ≠0,则(λA) =1/λ
  • 如果A、B是同阶的且均可逆,AB也可逆,且 (AB) = BA

分块矩阵

将矩阵的相互独立的部分分块即得到分块矩阵,如下:

不难发现

 

和A、B两个矩阵单独比分块时相乘的结果相同。

矩阵法看克拉姆法则

如果方阵A的行列式|A|≠0,则方程AX=b有唯一解且

(即左边左乘A-1 得到x,这里A*是A的伴随矩阵,详见上述说明)

初等变换

  • 对调两(对调i,j两行,记作
  • 以不等于0的数k乘某里的所有元素(第i行乘k,记作)
  • 把某一的所有元素的k倍加到另外一行对应的元素上取(第j行的k倍加到第i行上,记作

以上3种对矩阵的运算叫做初等行变换。如果这里的换成列,则称为初等列变换。初等行和列变换统称为初等变换。

初等行变换的特点

初等行变换是可逆的

初等行变换的逆变换是同一类型的变换。(如

初等变化法求矩阵的逆

初等变换法(只做行变换) (A,E)-->行(E, )  的处理步骤:

           step1:在行列式右边新增个E并用虚线分开

           step2:对左边的A处理成E时先第1列,再第2列,再第3列

           step3:对一整行就行变换操作

           step4:以前处理时参与运算的行不再参与运算

           step4:运算过程以箭头表示不是等号

           step4:只做初等行变换step3中形式 对换行、乘以个数加到另外个行上、行乘个数)

           step4: 不管是否可逆,如果左边划不成E则说明A不可逆

初等矩阵

单位矩阵经过一次初等变换得到矩阵叫做初等矩阵。

矩阵等价

矩阵A经过有限次初等(或单独行、单独列)变换得到矩阵B,记作A(行或列)等价于B,记作 A ~B。

等价的性质:

1) 反射性 A和它本身等价

2) 对称性 A和B等价,则B和A是等价的

3) A等于B B等价于C 则A等价于C

针对矩阵A、B(m×n)有以下结论:

  • A行等价于B的充要条件是存在m阶的可逆矩阵P使得 PA=B (P左乘A等于B)
  • A列等价于B的充要条件是存在n阶的可逆矩阵Q使得 AQ=B (Q右乘A等于B)
  • A等价B的充要条件是存在m阶的可逆矩阵P和n阶的可逆矩阵Q使得PAQ=B
  • 矩阵A可逆的充要条件是A行等价与单位矩阵。
  • 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵  使得A=

这里矩阵的初等变换和矩阵的乘法结合上。

行阶梯型矩阵

针对矩阵可以画出一个阶梯线,

  • 该线的下方全为0
  • 每个台阶只有一行
  • 台阶数即是非零行的行数
  • 阶梯线的竖线(每段竖线的长度是一行)后面的第一个元素是非零元

:这里阶梯竖线后的非零元不是一定都是1。

行最简阶梯型

满足行阶梯型的同时,又满足以下条件:

非零行的首非零元是1且零元所在列的其它元素都是0

标准型

对行简化型再实施初等列变换则可以化成更简单形式的矩阵(该矩阵的左上角是单位阵,其它元素全为0),该矩阵叫做标准型

对于m×n的矩阵A,总可以通过初等变换(行或列)转换成标准型。

K阶子式

在m×n的矩阵A中,任取k行、k列(k小于等于m、k小于等于n),位于这些行和列交叉处的 个元素,在不改变原有次序的情况下组成的矩阵叫做矩阵A的k阶子式

不难发现矩阵A有个k阶子式。

比如有矩阵A

比如取第1行,第3行,第1列,第4列交叉上的元素组成的子式即为其一个2阶子式。即按照如下划线操作 :

即其中的一个2阶子式是: 

矩阵的秩

设在m×n的矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式全等于0,则D是该矩阵的最高阶非零子式。非零子式的最高阶数即叫做矩阵的秩 记作R(A) r是rank的缩写。

不难发现

  • 矩阵的秩 R(A)大于等于0小于等于min{m,n}。
  • r(A) = m 取了所有的行,叫行满秩
  • r(A) = n 取了所有的列,叫列满秩
  • r(A) < min{m,n}则叫做降秩
  • A是方阵,A满秩的充要条件是A是可逆的(转换为A的行列式不等于0,所以可逆)
  • r(A) = r的充要条件是有一个r阶子式不为0,所有r+1阶子式为0
  • 矩阵A(m乘n阶)左乘m阶可逆矩阵P,右乘n阶可逆矩阵Q,或者左右乘可逆矩阵PAQ不改变其秩。
  • 对矩阵实施(行、列)初等变换不改变矩阵的秩
  • 阶梯形矩阵的秩 r(A)等于非零行的行数。
  • A的秩等于A转置的秩
  • 任意矩阵乘可逆矩阵,秩不变

增广矩阵

增广矩阵是线性方程组里的一个常见概念。

在系数矩阵的右边添上一列,该列由线性方程组等号右边的值按照顺序拼接而成,该新的矩阵叫做方程组的增广矩阵。针对如下线性方程组,我们不难得到

其系数矩阵(即由每个未知量前的系数按照顺序组成的矩阵)是

而我们假设一列(方程组右边的值)构成新的矩阵即叫做该方程组的增广矩阵

或者更一般的,如果我们把线性方程组简写为Ax=b那么增广矩阵B可以记作(A,b)。

矩阵的迹

矩阵对角元素的和即成矩阵的迹,

不难发现迹有如下性质

:这里A、B是同型的矩阵。

延展

矩阵与行列式对比

  • 行列式是个数,矩阵是数表
  • 行列是双竖线。矩阵是中括号
  • 行列式是方的,行列相同,矩阵行数列数没有要求

矩阵运算综合

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