线性代数之矩阵基础点常见概念与示例汇总
由m乘n个数(i∈[1,m], j∈[1,n],i、j∈Z)排成的m行n列的数表记作矩阵A:
几点说明:
行矩阵:A=(1,4,5),通俗形式
列矩阵: ,通俗形式
注:这里的都是数。
两个同型矩阵A和B相加,即相对应元素相加。这里两矩阵都是m行n列。
不难发现矩阵相加有如下规律:
A+B = B+A (交换律)
A+B+C = A+(B+C)(结合律)
A+(-B) = A - B
A+(-A) = A – A = 0 (这里的零矩阵跟A是同型矩阵)
数λ乘矩阵A记作λA或Aλ,即矩阵的每个元素都乘以λ,其形式见下:
不难发现:
(λμ)A=λ(μ)A (结合律)
(λ+μ)A =λA+μA (分配律,含加和乘运算)
λ(A+B)= λA+λB (分配律)
设A为 的矩阵,B为 的矩阵,那么称 的矩阵C为矩阵A与B的乘积,记作 ,其中矩阵C中的第 行第 列元素可以表示为:
所示:
注意事项:
基本性质:
应用案例:
类似于数的幂,矩阵也可以进行幂运算,比如。这里A显然是个方阵。
不难发现:
对于不同型的矩阵A、B,一般不满足 。当且仅当AB=BA时,即A、B可交换(显然这里A、B是同型方阵)时上式满足。
有了矩阵的乘法,如下方程组可以用矩阵相乘的方式表示:
Y = AX,
将矩阵的行列的对应元素互换得到的新矩阵叫做该矩阵的转置,记作
不难发现:
(简言之AB的转置等于B先转置乘A的转置,简单的理解AB转置后的型取原B的列在前、原A的行在后,对应B先转置乘A的转置即B列在前、A的行在后)
对于方阵A,如果(即以对角线为轴左右对应元素相同,),则A称为对称矩阵。
方阵A的元素构成的行列式即成为矩阵的行列式,记作|A|或者detA,det是Determinant的缩写。
假设A、B均为n阶方阵,这里有:
(因矩阵数乘是每个元素都乘以λ,这里A是n阶的,所以取行列式时是λ的n次方)
|AB|=|A||B| =|BA|
由行列式|A|的代数余子式Aij 的转置所构成的矩阵,见下
叫做矩阵A的伴随矩阵。或者见如下表示:
伴随矩阵的求法:
不难发现:
简要证明:
因为这里按照矩阵相乘(行乘列),行列式代数余子式展开两个特性,某行元素乘以其代数余子式等于行列式的值,乘以非对应代数余子式为0。所以AA*的矩阵,所有主对角线元素都是|A|,其它元素均为0)
注:异乘变零定理是某行元素与另一个行的代数余子式相乘之和等于0。
不难证明
针对一个n阶的矩阵A,如果存在一个n阶的矩阵B满足AB=BA=E,则称A是可逆的, B是A的逆。这里的B也记作
A可逆则|A|≠0(有定义得知)
如果|A|≠0,则A可逆,且= A*/|A| (由伴随矩阵定义得知)
如果|A|=0,则成矩阵A是奇异矩阵,退化的,反之为非奇异矩阵。
关于矩阵的逆
将矩阵的相互独立的部分分块即得到分块矩阵,如下:
不难发现
和A、B两个矩阵单独比分块时相乘的结果相同。
如果方阵A的行列式|A|≠0,则方程AX=b有唯一解且
(即左边左乘A-1 得到x,这里A*是A的伴随矩阵,详见上述说明)
以上3种对矩阵的运算叫做初等行变换。如果这里的行换成列,则称为初等列变换。初等行和列变换统称为初等变换。
初等行变换的特点:
初等行变换是可逆的
初等行变换的逆变换是同一类型的变换。(如)
初等变化法求矩阵的逆
初等变换法(只做行变换) (A,E)-->行(E, ) 的处理步骤:
step1:在行列式右边新增个E并用虚线分开
step2:对左边的A处理成E时先第1列,再第2列,再第3列
step3:对一整行就行变换操作
step4:以前处理时参与运算的行不再参与运算
step4:运算过程以箭头表示不是等号
step4:只做初等行变换step3中形式 对换行、乘以个数加到另外个行上、行乘个数)
step4: 不管是否可逆,如果左边划不成E则说明A不可逆
单位矩阵经过一次初等变换得到矩阵叫做初等矩阵。
矩阵A经过有限次初等(或单独行、单独列)变换得到矩阵B,记作A(行或列)等价于B,记作 A ~B。
等价的性质:
1) 反射性 A和它本身等价
2) 对称性 A和B等价,则B和A是等价的
3) A等于B B等价于C 则A等价于C
针对矩阵A、B(m×n)有以下结论:
这里矩阵的初等变换和矩阵的乘法结合上。
针对矩阵可以画出一个阶梯线,
注:这里阶梯竖线后的非零元不是一定都是1。
满足行阶梯型的同时,又满足以下条件:
非零行的首非零元是1且零元所在列的其它元素都是0
对行简化型再实施初等列变换则可以化成更简单形式的矩阵(该矩阵的左上角是单位阵,其它元素全为0),该矩阵叫做标准型。
对于m×n的矩阵A,总可以通过初等变换(行或列)转换成标准型。
在m×n的矩阵A中,任取k行、k列(k小于等于m、k小于等于n),位于这些行和列交叉处的 个元素,在不改变原有次序的情况下组成的矩阵叫做矩阵A的k阶子式。
不难发现矩阵A有个k阶子式。
比如有矩阵A
比如取第1行,第3行,第1列,第4列交叉上的元素组成的子式即为其一个2阶子式。即按照如下划线操作 :
即其中的一个2阶子式是:
设在m×n的矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式全等于0,则D是该矩阵的最高阶非零子式。非零子式的最高阶数即叫做矩阵的秩 记作R(A) r是rank的缩写。
不难发现
增广矩阵是线性方程组里的一个常见概念。
在系数矩阵的右边添上一列,该列由线性方程组等号右边的值按照顺序拼接而成,该新的矩阵叫做方程组的增广矩阵。针对如下线性方程组,我们不难得到
其系数矩阵(即由每个未知量前的系数按照顺序组成的矩阵)是
而我们假设一列(方程组右边的值)构成新的矩阵即叫做该方程组的增广矩阵
或者更一般的,如果我们把线性方程组简写为Ax=b那么增广矩阵B可以记作(A,b)。
矩阵对角元素的和即成矩阵的迹,
不难发现迹有如下性质
注:这里A、B是同型的矩阵。
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