\quad 回顾一下，数域 K K K 上的 n n n 元线性方程组解的情况有几种？前面我们通过对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形已经解决了这个问题。
\quad 但事实上，化完阶梯形后，这个方程组的求解已经完成的差不多了。换言之，题目已经求解完了，才知道有没有解。这样的效率实在太低了（尤其是当方程组很大、很复杂的时候）。
\quad 于是，我们提出了新的问题：可否从线性方程组本身的特点（比如系数和常数项），来直接判断方程组是否有解？有解的时候，有多少解？
\quad 如何研究这个问题呢？解剖麻雀！以一个二元线性方程组为例，观察研究数域 K K K 上的一个二元一次方程组：
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 2 + a 22 x 2 = b 2 a 11 , a 21 不全为零 \begin{cases} \begin{aligned} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} &= b_{1} \\ a_{21} x_{2} + a_{22} x_{2} &=b_{2} \end{aligned} \end{cases}\quad a_{11},a_{21} ~ \text{不全为零} {
a11x1+a12x2a21x2+a22x2=b1=b2a11,a21 不全为零
\quad 该线性方程组的增广矩阵为：
( a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 ) \left(\begin{matrix} a_{11} &a_{12} &b_{1}\\ a_{21} &a_{22} &b_{2} \end{matrix} \right) (a11a21a12a22b1b2)
对其作初等行变换化为阶梯形：
( a 11 a 21 a 12 a 21 b 1 a 21 0 a 11 a 22 − a 12 a 21 b 2 a 11 − b 1 a 21 ) \left(\begin{matrix} a_{11}a_{21} &a_{12}a_{21} &b_{1}a_{21}\\ 0 &a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} &b_{2}a_{11}-b_{1}a_{21} \end{matrix} \right) (a11a210a12a21a11a22−a12a21b1a21b2a11−b1a21)
显然，该方程组若有解（实际上是唯一解），则必有
a 11 a 22 − a 12 a 21 ≠ 0 a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\ne 0 a11a22−a12a21=0
因此，这个不等式很重要！值得重点研究。
\quad 显然，该方程组的系数矩阵是一个 2 2 2 级矩阵：
A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) A = \left(\begin{matrix} a_{11} &a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{matrix}\right) A=(a11a21a12a22)
\quad 可以看到，重要不等式实际上是由二级矩阵 A A A 中的元素组成的，不妨仿照系数矩阵 A A A 的形式，定义：
∣ a 11 a 21 a 21 a 22 ∣ : = a 11 a 22 − a 12 a 21 \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{21}\\ a_{21} &a_{22} \end{matrix}\right|:=a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
a11a21a21a22
:=a11a22−a12a21
称其为二阶行列式。由于二阶行列式中的元素正是二级矩阵 A A A 的元素，因此也称其为矩阵 A A A 的行列式，记作 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ 或 det A \det A detA.
\quad 于是可有结论：数域 K K K 上系数矩阵为 A A A 的二元一次方程组有唯一解 当且仅当 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\ne 0 ∣A∣=0.
\quad 简单证明一下：
- 充分性：即前面有关线性方程组解的情况的判定定理；
- 必要性：反证法，假设 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣A∣=0，由前面线性方程组解的判定定理可知，方程组无解或有无穷多解，从而产生矛盾。
- 因此是充分必要条件。
\quad 这个结论具有很重要的意义，通过这个结论，可以直接判断二元一次方程组是否有解，而避免了对矩阵初等行变换化阶梯形的繁琐操作！
\quad 自然而然地，我们期望将这样地结论推广到一般的 n n n 个方程构成的 n n n 元线性方程组！
\quad 可以猜测，如果该结论可以推广，那么结论势必与 “ n n n 级矩阵的行列式” 有关，即“ n n n 阶行列式”。为此，我们需要推广行列式的概念！
\quad 如何定义 n n n 阶行列式呢？还是先解剖麻雀，看一看二阶行列式有什么特点？
∣ a 11 a 21 a 21 a 22 ∣ : = a 11 a 22 − a 12 a 21 \left|\begin{matrix} a_{11} &a_{21}\\ a_{21} &a_{22} \end{matrix}\right|:=a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
a11a21a21a22
:=a11a22−a12a21
\quad 仔细观察二阶行列式，有如下特点：
\quad 方便起见，引进几个概念。
n 元排列： 1 , 2 , ⋯ , n 1,2,\cdots,n 1,2,⋯,n 的一个全排列，称为一个 n n n 元排列。显然，由 1 , 2 , ⋯ , n 1,2,\cdots,n 1,2,⋯,n 形成的全排列共有 n ! n! n! 个。
n 元排列’： n n n 元排列的概念可以推广到任意的 n n n 个数。
例题： 3 3 3 元排列有： 123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321 123,132,213,231,312,321 123,132,213,231,312,321.
例题： 2431 2431 2431 是一个 4 4 4 元排列。
\quad 观察全排列 2431 2431 2431：
逆序数：设 a 1 a 2 ⋯ a n a_{1}a_{2}\cdots a_{n} a1a2⋯an 是一个 n n n 元排列，则称其逆序的数对个数为逆序数，记作 τ ( a 1 a 2 ⋯ a n ) \tau(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}) τ(a1a2⋯an)。
例题： 4 4 4 元排列 2431 2431 2431 的逆序数为 4 4 4，即 τ ( 2431 ) = 4 \tau(2431)=4 τ(2431)=4.
偶排列与奇排列：逆序数为偶数的全排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。
例题： 2341 2341 2341 是一个奇排列， 2143 2143 2143 是一个偶排列。
对换：设 a 1 ⋯ a i ⋯ a j , ⋯ a n a_{1}\cdots a_{i} \cdots a_{j},\cdots a_{n} a1⋯ai⋯aj,⋯an 是一个 n n n 元排列，将 a i a_{i} ai 与 a j a_{j} aj 对换位置可得新的 n n n 元排列 a 1 ⋯ a j ⋯ a i ⋯ a n a_{1}\cdots a_{j}\cdots a_{i}\cdots a_{n} a1⋯aj⋯ai⋯an，称这样的变换为一个对换，记作 ( i , j ) (i,j) (i,j)。
例题：奇排列 2431 2431 2431 经过对换 ( 3 , 1 ) (3,1) (3,1) 变成偶排列 2143 2143 2143.
定理：对换会改变排列的奇偶性。
证明：
\quad 先证特殊的情形：对换 n n n 元排列中相邻的两个数。
⋯ p ⋯ i j ⋯ q ( I ) ↓ ( i , j ) ⋯ p ⋯ j i ⋯ q ( I I ) \begin{matrix} \begin{aligned} \cdots p \cdots i~j \cdots q \quad &(I)\\ \downarrow(i,j) \quad \\ \cdots p \cdots j~i \cdots q \quad &(II) \end{aligned} \end{matrix} ⋯p⋯i j⋯q↓(i,j)⋯p⋯j i⋯q(I)(II)
显然， i , j i,j i,j 与 i , j i,j i,j 之外的数构成的数对在经过对换 ( i , j ) (i,j) (i,j) 后，奇偶性并未发生变化。若数对 i j i~j i j 在对换前为顺序，则对换后变为逆序，逆序数加一；反之，若数对 i j i~j i j 在对换前为逆序，则对换后变为顺序，逆序数减一。前一情形中， ( I ) (I) (I) 比 ( I I ) (II) (II) 逆序数少一；后一情形中， ( I ) (I) (I) 比 ( I I ) (II) (II) 逆序数多一，因此无论怎样， ( I ) (I) (I) 与 ( I I ) (II) (II) 的奇偶性相反。
\quad 再证一般的情形：对换的两个数不相邻。
⋯ i k 1 ⋯ k s j ⋯ ( I I I ) ↓ ( i , j ) ⋯ j k 1 ⋯ k s i ⋯ ( I V ) \begin{matrix} \begin{aligned} \cdots i ~ k_{1}\cdots k_{s} ~ j \cdots \quad &(III)\\ \downarrow (i,j)\quad \quad\quad\\ \cdots j ~ k_{1}\cdots k_{s} ~ i \cdots \quad &(IV) \end{aligned} \end{matrix} ⋯i k1⋯ks j⋯↓(i,j)⋯j k1⋯ks i⋯(III)(IV)
显然， ( I I I ) (III) (III) 需要经过 2 s + 1 2s+1 2s+1 次相邻对换变为 ( I V ) (IV) (IV)， 2 s + 1 2s+1 2s+1 是奇数，因此 ( I I I ) (III) (III) 与 ( I V ) (IV) (IV) 的奇偶性相反。
#
参考：
文章浏览阅读1k次。通过使用ajax方法跨域请求是浏览器所不允许的，浏览器出于安全考虑是禁止的。警告信息如下：不过jQuery对跨域问题也有解决方案，使用jsonp的方式解决，方法如下：$.ajax({ async:false, url: 'http://www.mysite.com/demo.do', // 跨域URL ty..._nginx不停的xhr
文章浏览阅读2k次。关于在 Oracle 中配置 extproc 以访问 ST_Geometry，也就是我们所说的 使用空间SQL 的方法，官方文档链接如下。http://desktop.arcgis.com/zh-cn/arcmap/latest/manage-data/gdbs-in-oracle/configure-oracle-extproc.htm其实简单总结一下，主要就分为以下几个步骤。..._extproc
文章浏览阅读1.5w次。linux下没有上面的两个函数，需要使用函数 mbstowcs和wcstombsmbstowcs将多字节编码转换为宽字节编码wcstombs将宽字节编码转换为多字节编码这两个函数，转换过程中受到系统编码类型的影响，需要通过设置来设定转换前和转换后的编码类型。通过函数setlocale进行系统编码的设置。linux下输入命名locale -a查看系统支持的编码_linux c++ gbk->utf8
文章浏览阅读750次。今天准备从生产库向测试库进行数据导入，结果在imp导入的时候遇到“ IMP-00009:导出文件异常结束” 错误，google一下，发现可能有如下原因导致imp的数据太大，没有写buffer和commit两个数据库字符集不同从低版本exp的dmp文件，向高版本imp导出的dmp文件出错传输dmp文件时，文件损坏解决办法：imp时指定..._imp-00009导出文件异常结束
文章浏览阅读143次。当下是一个大数据的时代，各个行业都离不开数据的支持。因此，网络爬虫就应运而生。网络爬虫当下最为火热的是Python，Python开发爬虫相对简单，而且功能库相当完善，力压众多开发语言。本次教程我们爬取前程无忧的招聘信息来分析Python程序员需要掌握那些编程技术。首先在谷歌浏览器打开前程无忧的首页，按F12打开浏览器的开发者工具。浏览器开发者工具是用于捕捉网站的请求信息，通过分析请求信息可以了解请..._初级python程序员能力要求
文章浏览阅读7.6k次，点赞2次，收藏6次。@Service标注的bean，类名：ABDemoService查看源码后发现，原来是经过一个特殊处理：当类的名字是以两个或以上的大写字母开头的话，bean的名字会与类名保持一致public class AnnotationBeanNameGenerator implements BeanNameGenerator { private static final String C..._@service beanname
文章浏览阅读6.9w次，点赞73次，收藏463次。1.前序创建#include<stdio.h>#include<string.h>#include<stdlib.h>#include<malloc.h>#include<iostream>#include<stack>#include<queue>using namespace std;typed_二叉树的建立
文章浏览阅读7.1k次。在Asp.net上使用Excel导出功能，如果文件名出现中文，便会以乱码视之。 解决方法： fileName = HttpUtility.UrlEncode(fileName, System.Text.Encoding.UTF8);_asp.net utf8 导出中文字符乱码
文章浏览阅读2.1k次，点赞4次，收藏23次。第一次实验 词法分析实验报告设计思想词法分析的主要任务是根据文法的词汇表以及对应约定的编码进行一定的识别，找出文件中所有的合法的单词，并给出一定的信息作为最后的结果，用于后续语法分析程序的使用；本实验针对 PL/0 语言 的文法、词汇表编写一个词法分析程序，对于每个单词根据词汇表输出： (单词种类, 单词的值) 二元对。词汇表：种别编码单词符号助记符0beginb..._对pl/0作以下修改扩充。增加单词
文章浏览阅读773次。我在使用adb.exe时遇到了麻烦.我想使用与bash相同的adb.exe shell提示符,所以我决定更改默认的bash二进制文件(当然二进制文件是交叉编译的,一切都很完美)更改bash二进制文件遵循以下顺序> adb remount> adb push bash / system / bin /> adb shell> cd / system / bin> chm..._adb shell mv 权限
文章浏览阅读6.8k次，点赞12次，收藏125次。1. 单目相机标定引言相机标定已经研究多年，标定的算法可以分为基于摄影测量的标定和自标定。其中，应用最为广泛的还是张正友标定法。这是一种简单灵活、高鲁棒性、低成本的相机标定算法。仅需要一台相机和一块平面标定板构建相机标定系统，在标定过程中，相机拍摄多个角度下（至少两个角度，推荐10~20个角度）的标定板图像（相机和标定板都可以移动），即可对相机的内外参数进行标定。下面介绍张氏标定法（以下也这么称呼）的原理。原理相机模型和单应矩阵相机标定，就是对相机的内外参数进行计算的过程，从而得到物体到图像的投影_相机-投影仪标定
文章浏览阅读2.2k次。文章目录Wayland 架构Wayland 渲染Wayland的 硬件支持简 述： 翻译一篇关于和 wayland 有关的技术文章, 其英文标题为Wayland Architecture .Wayland 架构若是想要更好的理解 Wayland 架构及其与 X (X11 or X Window System) 结构；一种很好的方法是将事件从输入设备就开始跟踪, 查看期间所有的屏幕上出现的变化。这就是我们现在对 X 的理解。 内核是从一个输入设备中获取一个事件，并通过 evdev 输入_wayland