1. 完全背包问题概念

1. 问题描述：
   1）有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。
   2）每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次）（比0-1背包多出的条件）
   3） 求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

2. 求解步骤：
   1）首先遍历物品，然后遍历重量，都是从小到大遍历，顺序没有关系（因为性价比最高的只有一个）

2. 完全背包问题第一种：求最大价值（和题目描述一致）

3. 代码

//1. 先遍历物品，再遍历重量最常见，也更好理解一点
public class demo2 {
    
    public static void main(String[] args) {
    
        int[] weight = new int[]{
    1, 3, 4};
        int[] value = new int[]{
    15, 20, 30};
        int maxweight = 4;
        //1）dp数组的定义，默认初始化零
        int[] dp = new int[maxweight + 1];
		
		//2)遍历和迭代：先物品再重量，是正序
        for (int i = 0; i < weight.length; i++) {
    
            for (int j = weight[i]; j <= maxweight ; j++) {
    
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
        System.out.println("dp=" + Arrays.toString(dp));
    }
}

//2. 先遍历重量，再遍历物品
public class demo2 {
    
    public static void main(String[] args) {
    
        int[] weight = new int[]{
    1, 3, 4};
        int[] value = new int[]{
    15, 20, 30};
        int maxweight = 4;
        //1）dp数组的定义，默认初始化零
        int[] dp = new int[maxweight + 1];

        //2)遍历和迭代：先重量再物品，是正序
        for (int j = 0; j <= maxweight ; j++) {
    
            for (int i = 0; i < weight.length; i++) {
    
                if(j>=weight[i]) dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
        System.out.println("dp=" + Arrays.toString(dp));
    }
}

3. 完全背包问题第二种：求最多的组合（类似0-1第二种）

题目描述：容量为k背包，存放物品int[] coins，装满有多少种可能性(每种物品有无限个）
注意：遍历先物品还是先重量是有区别的：

1）先物品再重量，那么就是组合数
//1. 求组成的种类，因为是完全背包，故重量也是从小到大
    public int change(int amount, int[] coins) {
    
        //1)dp数组的定义和初始化
        int[] dp =new int[amount+1];
        dp[0]=1;

        //2)dp数组遍历和迭代  //迭代公式一定要记住，是一个累加的过程。
        for(int i=0;i<coins.length;i++){
    
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
    
                dp[j]+=dp[j-coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }

1）先重量再物品，那么就是排列数
//1. 求组成的种类，因为是完全背包，故重量也是从小到大
    public int change(int amount, int[] coins) {
    
        //1)dp数组的定义和初始化
        int[] dp =new int[amount+1];
        dp[0]=1;

        //2)dp数组遍历和迭代  //迭代公式一定要记住，是一个累加的过程。
        for(int j=0;j<=amount;j++){
    
             for(int i=0;i<coins.length;i++){
    
               if(j>=coins[i]) dp[j]+=dp[j-coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }

4. 完全背包的总结

4.1 第一类完全背包问题：：求最大价值

1）问题描述：若干个物品，每个物品有对应的重量和价值，当背包大小固定为K时，如何装存物品，使得背包中物品的价值最大？其中同一种物品的个数不限制。
2）求解方法：
（1）：用一维dp数组：使用默认初值0；双层遍历，先正序遍历物品，再正序遍历重量或者先正序遍历重量，再逆序遍历物品，两种遍历方向都可以，但是必须都为正序遍历。

4.2 第二类完全背包问题：装满可能性

1）问题描述：容量为k背包，存放物品，装满有多少种可能性？其中同一种物品的个数不限制。
2）求解方法：
（1）：用一维dp数组：dp[0]=1；双层遍历
先正序遍历物品，再正序遍历重量,迭代方法为累加,求的是组合数；
先正序遍历重量，再正序遍历物品,迭代方法为累加,求的是排列数。

4.3 0-1背包和完全背包的区别：就在重量是否是正逆序上面。

第一题：518.零钱兑换II（完全背包第二类问题：组合数）

1. 题目描述

```

2. 步骤
1）就是第二类完全背包问题，求背包满的种类数，只是这里用了组合数，所以需要先遍历物品，再遍历重量。
4. 代码
```java
//1. 求组成的种类，因为是完全背包，故重量也是从小到大
    public int change(int amount, int[] coins) {
        //1)dp数组的定义和初始化
        int[] dp =new int[amount+1];
        dp[0]=1;

        //2)dp数组遍历和迭代  //迭代公式一定要记住，是一个累加的过程。//先物品再重量
        for(int i=0;i<coins.length;i++){
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
                dp[j]= dp[j-coins[i]] + dp[j];
            }
        }
        return dp[amount];
    }

第二题：377.组合总和IV（完全背包第二类问题，考虑排列数）

1. 题目描述
   

2. 解题步骤
   1）就是第二类完全背包问题，求背包满的种类数，只是这里用了排列数，所以需要先遍历重量，再遍历物品。

3. 代码：

    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
    
        //定义dp数组，并初始化
        int[] dp=new int[target+1];
        dp[0]=1;

        //迭代遍历：先金额，再硬币种类
        for(int i=0;i<=target;i++){
    
            for(int j=0;j<nums.length;j++){
    
                if(i>=nums[j]) dp[i]+=dp[i-nums[j]];
            }
        }
        return dp[target];

    }

第三题：70.爬楼梯（完全背包第二类问题，考虑排列数）

1. 题目描述

2. 解题思路
   1）这是之前出现的一道题目，用斐波那契算法类似的。
   2）也可以从完全背包方面进行解析。
3. 代码

//以前的思路
public int climbStairs(int n) {
    

        //1）斐波那契算法
        int[] dp=new int[n+1];
        if(n<=2) return n;
        dp[0]=0;
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        for(int i=3;i<=n;i++){
    
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];

    }

//完全背包的思路
    public int climbStairs(int n) {
    
        //完全背包问题:两个物体【1和2】，背包的大小为n,物品的个数为无限
        //求解符合要求的情况有多少种，求排列数

        //1)dp数组的定义和初始化
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[0]=1;

        //2）遍历和迭代:先背包，后物品，正序
        for(int i=0;i<=n;i++ ){
    
            for(int j=1;j<=2;j++){
    
                if(i>=j) dp[i]+=dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }

第四题：322.零钱兑换（完全背包第一类问题，求最小值）

1. 题目描述

2. 解题步骤
   1）先遍历物品，再遍历钱；
   2）dp[ i] 数组的含义为：为了凑成总金额所需的最少硬币个数
   3）迭代公式：
   （1）：加入硬币i,故其硬币总数为：dp[ j-weight[ i ] ]+1
   （2）：不加入硬币i,故其硬币维持之前的为：dp[ j ]
3. 代码

class Solution {
    
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
    
        //核心思路：这是一个典型的完全背包问题，两层遍历，从前向后，只是迭代公式不一样
        //迭代公式：dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1)
        
        //dp数组的新建和初始化(第一个为0，剩下的初始为最大值max)
        int max=Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp=new int[amount+1];
        for(int i=1;i<amount+1;i++){
    
            dp[i]=max;
        }
        //System.out.println("dp1="+ Arrays.toString(dp));

        //遍历（没有顺序） 
        for(int i=0;i<coins.length;i++){
    
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
    
                //易错点：如果退回去的值dp[j-coins[i]]=max,那么这一步就不算数
                if(dp[j-coins[i]]!=max) dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);
            }
        //System.out.println("dp="+ Arrays.toString(dp));
        }
        //返回判断：如果最后时max,则不能够组成
        return dp[amount]==max?-1 : dp[amount] ;
    }
}

4. 注意点：
   1）初始化数组的时候，因为要比较的是最小值，所以第一个值初始化为0，后面的初始化应该为比较大的值（相对于于比较最大值的区别）
   2）在中间比较的时候，当之前的硬币数数有效时，即不是初始值的时候，才是有效的，进行判断才有价值。

第五题：279.完全平方数（完全背包第一类问题，求最小值）

1. 题目描述

2. 解题步骤
   1）此题和上一题一模一样，只是需要通过给定的n，然后自己给出物品数组
3. 代码

class Solution {
    
    public int numSquares(int n) {
    
        //1）根据给定的值，得出物品的集合
        int[] things=new int[n+1];
        for(int i=1;i<=n;i++) things[i]=i*i;
        //System.out.println(Arrays.toString(things));

        //2)初始化dp数组
        int max=Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp=new int[n+1];
        for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=max;
        //System.out.println(Arrays.toString(dp));    

        //3)遍历和迭代
        for(int i=1;i<=n;i++){
    
            for(int j=things[i];j<=n;j++){
    
            if(dp[j-things[i]]!=max) dp[ j ]=Math.min(dp[j-things[i]]+1, dp[j]);
            }
        } 
              
        //4）输出
        return dp[n];

    }
}

第六题：139.单词拆分？（完全背包第一类问题，求可能不可能）

1. 题目描述

2. 解题步骤
   1）dp[i] :即从0-i个字符，是否都在wordDict里面能够找到对应的值；可能是全部，可能是一部分。
   2）迭代公式：
   （1）：把s的前i个字符分为两部分：如果前面一部分已经判断能够找到，剩下的一部分能够凑成一个单词，那么就可以判定为true了。
   3）遍历顺序：遍历背包放在外循环，将遍历物品放在内循环。内循环从前到后。
3. 代码

class Solution {
    
    public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
    
        //完全背包问题:数组就是硬币,字符串就是金钱

        //1)数组的定义和初始化:boolean[] 默认值为false;
        boolean[] dp=new boolean[s.length()+1];
        dp[0]=true;  //dp[0]=true;

        //2)遍历迭代：先重量，后物品
        for(int i=1;i<=s.length();i++){
      //**遍历背包**
            for(int j=0;j<i;j++)    //**遍历物品**
            //前一部分  dp[j]=s.substring(0,j+1)在字典中能够找到
            //后一部分：wordDoct.contains(s.substring(j,i) 能够找到对应的单词
            if( dp[j] && wordDict.contains(s.substring(j,i)) ) dp[i]=true;
        }

        //3)输出：
        return dp[s.length()];
    }
}

7. 多重背包问题

1. 有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。
2. 与0-1背包问题区别：0-1背包问题每件物品个数为1，而多重背包为设定的值x
3. 求解思路：直接在0-1背包问题上面进行改写：先遍历物品，再遍历重量，然后再加一层循环，即遍历物品的个数，就可以解出来了。

8. 总结：

1. 完全背包第二类问题：求解装满背包的种类：
   （0）：迭代公式：dp[j] += dp[j - nums[i]]
   （1）：组合数：518.零钱兑换II
   （2）：排列数：377.组合总和IV，70.爬楼梯
2. 完全背包第一类问题：问装满背包所有物品的最小个数：
   （0）：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
   （1）：322.零钱兑换
   （2）：279. 完全平方数