【线性代数与矩阵论】矩阵的酉相似_酉相似矩阵-程序员宅基地

技术标签： 矩阵  线性代数  线性代数与矩阵论  

矩阵的酉相似（合同变换）

2023年11月7日
#algebra

文章目录

1. 酉矩阵

设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n ，若 A {A} A 满足
A H A = A A H = I A^ \mathrm HA=AA^ \mathrm H=I AHA=AAH=I
则称 A {A} A 为酉矩阵（）。由定义可得
A − 1 = A H A^{-1}=A^ \mathrm H A−1=AH
当 A ∈ R n × n {A\in \mathbb R^{n \times n}} A∈Rn×n ，酉矩阵就是单位正交矩阵。
性质 若 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 是酉矩阵，则

  1. ∣ det ⁡ A ∣ = 1 {|\det A|=1} ∣detA∣=1
  2. A T , A H , A − 1 {A^T,A^H,A^{-1}} AT,AH,A−1 仍为酉矩阵
  3. 若 B {B} B 也是酉矩阵，则 A B {AB} AB 也是酉矩阵

显然，酉矩阵列向量是空间中一组标准正交基，这是酉矩阵的充要条件。

2. 酉相似

设 A , B ∈ C n × n {A,B\in \mathbb C^{n \times n}} A,B∈Cn×n ，若存在酉矩阵 U {U} U 使得
B = U − 1 A U = U H A U B=U^{-1}AU=U^ \mathrm HAU B=U−1AU=UHAU
则称 A {A} A 与 B {B} B 酉相似。
相似变换与逆矩阵有关，相似变换前后的矩阵为相似矩阵。
合同变换与酉矩阵有关，合同变换前后的矩阵为合同矩阵。

3. Schur分解定理

设 ∀ A ∈ C n × n \forall A\in \mathbb C^{n \times n} ∀A∈Cn×n ，若存在酉矩阵 U {U} U 使得
T = U − 1 A U = U H A U = [ λ 1 t 12 ⋯ t 1 n 0 λ 2 ⋱ ⋮ 0 0 ⋱ t ( n − 1 ) n 0 0 0 λ n ] T=U^{-1}AU=U^ \mathrm HAU= \begin{bmatrix} \lambda_1 & t_{12} & \cdots & t_{1n} \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & t_{(n-1)n}\\ 0 & 0 & 0 & \lambda_n \end{bmatrix} T=U−1AU=UHAU= ​λ1​000​t12​λ2​00​⋯⋱⋱0​t1n​⋮t(n−1)n​λn​​ ​
其中 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1​,λ2​,⋯,λn​ 是 A {A} A 的特征值，即任意 A {A} A 都可酉相似与一个上三角矩阵 T {T} T 。

4. 正规矩阵

设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 满足
A H A = A A H A^ \mathrm HA=AA^ \mathrm H AHA=AAH
则称A为正规矩阵。正规矩阵有以下类型：

  1. 实对称矩阵 A ∈ R n × n , A T = A {A\in \mathbb R^{n \times n}, A^ \mathrm T =A} A∈Rn×n,AT=A
  2. 实反对称矩阵 A ∈ R n × n , A T = − A {A\in \mathbb R^{n \times n}, A^ \mathrm T =-A} A∈Rn×n,AT=−A
  3. 实正交矩阵 A ∈ R n × n , A T A = A A T = I {A\in \mathbb R^{n \times n}, A^ \mathrm T A=AA^ \mathrm T=I} A∈Rn×n,ATA=AAT=I
  4. Hermit矩阵 A ∈ C n × n , A H = A {A\in \mathbb C^{n \times n}, A^ \mathrm H=A} A∈Cn×n,AH=A
  5. 反Hermit矩阵 A ∈ C n × n , A H = − A {A\in \mathbb C^{n \times n}, A^ \mathrm H=-A} A∈Cn×n,AH=−A
  6. 酉矩阵 A ∈ C n × n , A H A = A A H = I {A\in \mathbb C^{n \times n}, A^ \mathrm H A=AA^ \mathrm H}=I A∈Cn×n,AHA=AAH=I

正规矩阵不一定是以上六类矩阵。

5. 酉相似对角化

设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n ，则A可酉相似对角化的条件是
A H A = A A H A^ \mathrm HA=AA^ \mathrm H AHA=AAH
即A为正规矩阵。方法如下：

  1. 求出A的全部特征值，和相应的重数
  2. 对这些特征值求特征向量
  3. 对特征向量做schmidt正交化

6. Hermit矩阵，反Hermit矩阵及酉矩阵的特性

设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n ，则

  1. A {A} A 是Hermit矩阵    ⟺    \iff ⟺ A {A} A 的特征值全是实数
  2. A {A} A 是反Hermit矩阵    ⟺    \iff ⟺ A {A} A 的特征值是 0 {0} 0 或纯虚数
  3. A {A} A 是酉矩阵    ⟺    \iff ⟺ A {A} A 的特征值的模是 1 {1} 1
  4. λ {\lambda} λ 是 A {A} A 的特征值， x {x} x 是对应 λ { \lambda} λ 的特征向量，则 λ ˉ {\bar \lambda} λˉ 是 A H {A^ \mathrm H} AH 的特征值，对应 λ ˉ {\bar \lambda} λˉ 的特征向量仍为 x {x} x

7. Hermit矩阵的正定性

设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 是一个Hermit矩阵，如果
x H A x > 0 , ∀ x ∈ C n , x ≠ 0 x^ \mathrm HAx>0, \forall x\in \mathbb C^{n},x\ne 0 xHAx>0,∀x∈Cn,x=0
则称 A {A} A 是一个正定的Hermit矩阵。
如果
x H A x ≥ 0 , ∀ x ∈ C n , x ≠ 0 x^ \mathrm HAx\ge0, \forall x\in \mathbb C^{n},x\ne 0 xHAx≥0,∀x∈Cn,x=0
则称 A {A} A 是一个半正定的Hermit矩阵。

设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 是一个Hermit矩阵，则下述条件等价

  1. A {A} A 是正定的Hermit矩阵
  2. A {A} A 的特征值全为正数
  3. 存在可逆矩阵 P {P} P 使得 A = P H P {A=P^ \mathrm HP} A=PHP
  4. A {A} A 的顺序主子式全为正数

设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 是一个Hermit矩阵，则下述条件等价

  1. A {A} A 是半正定的Hermit矩阵
  2. A {A} A 的特征值全为非负数
  3. 存在可逆矩阵 P {P} P 使得 A = P H P {A=P^ \mathrm HP} A=PHP

设 A ∈ C m × n {A\in \mathbb C^{m \times n}} A∈Cm×n ，则

  1. A H A {A^ \mathrm HA} AHA 和 A A H {AA^ \mathrm H} AAH 的特征值全为非负实数
  2. A H A {A^ \mathrm HA} AHA 和 A A H {AA^ \mathrm H} AAH 的非零特征值相同
  3. rank ( A H A ) = rank ( A A H ) = rank ( A ) {\text{rank}( A^ \mathrm HA)= \text{rank}( AA^ \mathrm H)= \text{rank}(A)} rank(AHA)=rank(AAH)=rank(A)

下链
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接：https://blog.csdn.net/lafea/article/details/135882743

智能推荐

攻防世界_难度8_happy_puzzle_攻防世界困难模式攻略图文-程序员宅基地

文章浏览阅读645次。这个肯定是末尾的IDAT了，因为IDAT必须要满了才会开始一下个IDAT，这个明显就是末尾的IDAT了。，对应下面的create_head()代码。，对应下面的create_tail()代码。不要考虑爆破，我已经试了一下，太多情况了。题目来源：UNCTF。_攻防世界困难模式攻略图文

达梦数据库的导出（备份）、导入_达梦数据库导入导出-程序员宅基地

文章浏览阅读2.9k次，点赞3次，收藏10次。偶尔会用到，记录、分享。1. 数据库导出1.1 切换到dmdba用户su - dmdba1.2 进入达梦数据库安装路径的bin目录，执行导库操作　　导出语句：./dexp cwy_init/[email protected]:5236 file=cwy_init.dmp log=cwy_init_exp.log　注释：　　 cwy_init/init_123..._达梦数据库导入导出

js引入kindeditor富文本编辑器的使用_kindeditor.js-程序员宅基地

文章浏览阅读1.9k次。1. 在官网上下载KindEditor文件，可以删掉不需要要到的jsp，asp，asp.net和php文件夹。接着把文件夹放到项目文件目录下。2. 修改html文件，在页面引入js文件：<script type="text/javascript" src="./kindeditor/kindeditor-all.js"></script><script type="text/javascript" src="./kindeditor/lang/zh-CN.js"_kindeditor.js

STM32学习过程记录11——基于STM32G431CBU6硬件SPI+DMA的高效WS2812B控制方法-程序员宅基地

文章浏览阅读2.3k次，点赞6次，收藏14次。SPI的详情简介不必赘述。假设我们通过SPI发送0xAA，我们的数据线就会变为10101010，通过修改不同的内容，即可修改SPI中0和1的持续时间。比如0xF0即为前半周期为高电平，后半周期为低电平的状态。在SPI的通信模式中，CPHA配置会影响该实验，下图展示了不同采样位置的SPI时序图[1]。CPOL = 0，CPHA = 1：CLK空闲状态 = 低电平，数据在下降沿采样，并在上升沿移出CPOL = 0，CPHA = 0：CLK空闲状态 = 低电平，数据在上升沿采样，并在下降沿移出。_stm32g431cbu6

计算机网络-数据链路层_接收方收到链路层数据后,使用crc检验后,余数为0,说明链路层的传输时可靠传输-程序员宅基地

文章浏览阅读1.2k次，点赞2次，收藏8次。数据链路层习题自测问题1.数据链路(即逻辑链路)与链路(即物理链路)有何区别?“电路接通了”与”数据链路接通了”的区别何在?2.数据链路层中的链路控制包括哪些功能?试讨论数据链路层做成可靠的链路层有哪些优点和缺点。3.网络适配器的作用是什么?网络适配器工作在哪一层?4.数据链路层的三个基本问题(帧定界、透明传输和差错检测)为什么都必须加以解决？5.如果在数据链路层不进行帧定界，会发生什么问题？6.PPP协议的主要特点是什么？为什么PPP不使用帧的编号？PPP适用于什么情况？为什么PPP协议不_接收方收到链路层数据后,使用crc检验后,余数为0,说明链路层的传输时可靠传输

软件测试工程师移民加拿大_无证移民，未受过软件工程师的教育（第1部分）-程序员宅基地

文章浏览阅读587次。软件测试工程师移民加拿大 无证移民，未受过软件工程师的教育(第1部分) (Undocumented Immigrant With No Education to Software Engineer(Part 1))Before I start, I want you to please bear with me on the way I write, I have very little gen...

随便推点

Thinkpad X250 secure boot failed 启动失败问题解决_安装完系统提示secureboot failure-程序员宅基地

文章浏览阅读304次。Thinkpad X250笔记本电脑，装的是FreeBSD，进入BIOS修改虚拟化配置（其后可能是误设置了安全开机），保存退出后系统无法启动，显示：secure boot failed ，把自己惊出一身冷汗，因为这台笔记本刚好还没开始做备份.....根据错误提示，到bios里面去找相关配置，在Security里面找到了Secure Boot选项，发现果然被设置为Enabled，将其修改为Disabled ，再开机，终于正常启动了。_安装完系统提示secureboot failure

C++如何做字符串分割（5种方法）_c++ 字符串分割-程序员宅基地

文章浏览阅读10w+次，点赞93次，收藏352次。1、用strtok函数进行字符串分割原型： char *strtok(char *str, const char *delim);功能：分解字符串为一组字符串。参数说明：str为要分解的字符串，delim为分隔符字符串。返回值：从str开头开始的一个个被分割的串。当没有被分割的串时则返回NULL。其它：strtok函数线程不安全，可以使用strtok_r替代。示例：//借助strtok实现split#include <string.h>#include <stdio.h&_c++ 字符串分割

2013第四届蓝桥杯 C/C++本科A组 真题答案解析_2013年第四届c a组蓝桥杯省赛真题解答-程序员宅基地

文章浏览阅读2.3k次。1 .高斯日记 大数学家高斯有个好习惯：无论如何都要记日记。他的日记有个与众不同的地方，他从不注明年月日，而是用一个整数代替，比如：4210后来人们知道，那个整数就是日期，它表示那一天是高斯出生后的第几天。这或许也是个好习惯，它时时刻刻提醒着主人：日子又过去一天，还有多少时光可以用于浪费呢？高斯出生于：1777年4月30日。在高斯发现的一个重要定理的日记_2013年第四届c a组蓝桥杯省赛真题解答

基于供需算法优化的核极限学习机(KELM)分类算法-程序员宅基地

文章浏览阅读851次，点赞17次，收藏22次。摘要：本文利用供需算法对核极限学习机(KELM)进行优化，并用于分类。

metasploitable2渗透测试_metasploitable2怎么进入-程序员宅基地

文章浏览阅读1.1k次。一、系统弱密码登录1、在kali上执行命令行telnet 192.168.26.1292、Login和password都输入msfadmin3、登录成功，进入系统4、测试如下：二、MySQL弱密码登录：1、在kali上执行mysql –h 192.168.26.129 –u root2、登录成功，进入MySQL系统3、测试效果：三、PostgreSQL弱密码登录1、在Kali上执行psql -h 192.168.26.129 –U post..._metasploitable2怎么进入

Python学习之路：从入门到精通的指南_python人工智能开发从入门到精通pdf-程序员宅基地

文章浏览阅读257次。本文将为初学者提供Python学习的详细指南，从Python的历史、基础语法和数据类型到面向对象编程、模块和库的使用。通过本文，您将能够掌握Python编程的核心概念，为今后的编程学习和实践打下坚实基础。_python人工智能开发从入门到精通pdf

推荐文章

热门文章

相关标签