平衡二叉搜索树:简称平衡二叉树。由前苏联的数学家 Adelse-Velskil 和 Landis 在 1962 年提出的高度平衡的二叉树,根据科学家的英文名也称为 AVL 树。
防止搜索二叉树退化为链表
即左右两子树的高度差:
B F = h l e f t − h r i g h t BF=h_{left}-h_{right} BF=hleft−hright
平衡二叉树的任何一节点的平衡因子只有三个取值: 0 , 1 , − 1 0,1,-1 0,1,−1,如果绝对值大于 1 1 1,说明该树失衡,就需要进行调整
struct treenode
{
int _val;//键值
treenode* _parent;//父节点
treenode* _l, * _r;//左右子树节点
int _deepth;//树高度
treenode(int val = 0) :_val(val), _deepth(1),_l(nullptr),_r(nullptr),_parent(nullptr) {
}
};
class AVLTree
{
treenode* _root;//根节点
void _insert(treenode*& , int );//插入
treenode* _erase(treenode* , int);//删除
treenode* get_lmax(treenode* );//获取左子树中的最大值
treenode* LL_roate(treenode*);//左旋
treenode* RR_roate(treenode*);//右旋
treenode* LR_roate(treenode*);//左右旋
treenode* RL_roate(treenode*);//右左旋
treenode* _find(treenode* , int );//查找
void _print(treenode* );//打印树节点
void updata_deepth(treenode* root) {
//更新树高度
root ? root->_deepth = max(get_deepth(root->_l),get_deepth(root->_r)) + 1 : 0;
}
int get_deepth(treenode* root){
//获取树高度
return root ? root->_deepth : 0;
}
int get_balance_factor(treenode* root) {
//获取平衡因子
return root ? get_deepth(root->_l) - get_deepth(root->_r) : 0;
}
public:
void insert(int data);//插入
void erase(int data);//删除
treenode* find(int data);//查找
void print() {
_print(_root); }//打印
};
要调整失衡的AVL树,就要找到最小不平衡子树,通过调整不平衡子树,来调整失衡的AVL树
最小不平衡子树:高度最小的失衡树。从插入点开始第一个平衡因子绝对值大于1的节点。
通过旋转调整不平衡子树,旋转的类型有四种情况:
L L , L R , R R , R L LL,LR,RR,RL LL,LR,RR,RL,分别对应失衡的四种情况。
左子树深度高于右子树 ( m a x { h 1 , h 2 } − 2 = m a x { h 3 , h 4 } , 即平衡因子等于 2 ) (max \left \{ h_1,h_2\right \}-2=max\left \{ h_3,h_4\right \},即平衡因子等于2) (max{ h1,h2}−2=max{ h3,h4},即平衡因子等于2)
a.左子树的左子树深度高于左子树的右子树深度 ( h 1 > h 2 , 左子树平衡因子为 1 , R R ) (h_1>h_2,左子树平衡因子为1,RR) (h1>h2,左子树平衡因子为1,RR)
b.左子树的右子树深度高于左子树的左子树深度 ( h 2 > h 1 , 左子树平衡因子为 − 1 , L R ) (h_2>h_1,左子树平衡因子为-1,LR) (h2>h1,左子树平衡因子为−1,LR)
右子树深度高于左子树 ( m a x { h 3 , h 4 } − 2 = m a x { h 1 , h 2 } , 即平衡因子等于 − 2 ) (max \left \{ h_3,h_4\right \}-2=max\left \{ h_1,h_2\right \},即平衡因子等于-2) (max{ h3,h4}−2=max{ h1,h2},即平衡因子等于−2)
a.右子树的右子树深度高于右子树的左子树深度 ( h 4 > h 3 , 右子树平衡因子为 − 1 , L L ) (h_4>h_3,右子树平衡因子为-1,LL) (h4>h3,右子树平衡因子为−1,LL)
b.右子树的左子树深度高于右子树的右子树深度 ( h 3 > h 4 , 右子树平衡因子为 1 , R L ) (h_3>h_4,右子树平衡因子为1,RL) (h3>h4,右子树平衡因子为1,RL)
旋转的目的就是减少高度,通过降低整棵树的高度来平衡。哪边的树高,就把那边的树向上旋转。
就是让右儿子当爹。这样操作逻辑上相当于让整棵树向左旋转了。
代码实现时,注意要将父节点(如果有的话)的子树(左子树或右子树,要判断一下)改为该节点的右子树(右旋也同理)。
inline treenode* AVLTree::LL_roate(treenode* root)
{
treenode* s = root->_r;//记录右子树
//调整父节点
s->_parent = root->_parent;//改变右子树的父节点
if (root->_parent) //如果该节点有父节点
{
if (root->_parent->_l == root)//判断该节点是父节点的左子树还是右子树
root->_parent->_l = s;//将父节点的子树改为该节点的右子树
else
root->_parent->_r = s;
}
root->_parent = s;//将该节点的父节点改为右子树,这个一定要最后调整
//调整子树
if (s->_l)//如果右子树和有左子树
s->_l->_parent = root;//就将右子树的左子树父节点改为该节点
root->_r = s->_l;//将右子树的左子树给该节点的右子树
s->_l = root;//将右子树的左子树改为该节点
//跟更新树高度
updata_deepth(root);//必须先更新该节点
updata_deepth(s);
return s;//返回该树的新的根节点
}
就是让左儿子当爹。这样的操作在逻辑上相当于将整棵树向右旋转了。
inline treenode* AVLTree::RR_roate(treenode* root)
{
treenode* s = root->_l;//记录左子树
//调整父节点
s->_parent = root->_parent;//改变左子树的父节点
if (root->_parent)//如果该节点有父节点
{
if (root->_parent->_l == root)//判断该节点是父节点的左子树还是右子树
root->_parent->_l = s;//将父节点的子树改为该节点的左子树
else
root->_parent->_r = s;
}
root->_parent = s;//将该节点的父节点改为左子树
//调整子树
if (s->_r)//如果左子树有右子树
s->_r->_parent = root;//就将左子树的右子树的父节点改为该节点
root->_l = s->_r;//将该节点的左子树改为左子树的右子树
s->_r = root;//将左子树的右子树改为该节点
//更新树高度
updata_deepth(root);
updata_deepth(s);
return s;//返回该树新的根节点
}
当失衡是由于左子树的右子树引起时,单纯的右旋不能解决问题。如下图
如果直接进行右旋,结果如下,并没有使二叉树回复平衡。
这时,我就就要先对左子树进行左旋操作,让左子树的左子树变为引起失衡的子树,再进行右旋,就可以将二叉树恢复平衡。
inline treenode* AVLTree::LR_roate(treenode* root)
{
LL_roate(root->_l);//左旋左子树
return RR_roate(root);//
}
于左右旋同理,就不过多赘述,直接给出代码
inline treenode* AVLTree::RL_roate(treenode* root)
{
RR_roate(root->_r);
return LL_roate(root);
}
插入同搜索二叉树基本相同,但是在每次插入之后要更新树的高度,并且检查树是否失衡,这样就可以在递归回退时找到最小不平衡子树,并且旋转调整他。
inline void AVLTree::insert(int data)
{
if (!_root)//为空树时,直接赋值改变根节点
{
_root = new treenode(data);
return;
}
_insert(_root, data);//不为空就插入
}
inline void AVLTree::_insert(treenode*& root, int data)
{
//插入
//按照二叉搜索树进行插入
if (root->_val < data)
{
if (root->_r)
_insert(root->_r, data);
else
{
root->_r = new treenode(data);
root->_r->_parent = root;
}
}
else
{
if (root->_l)
_insert(root->_l, data);
else
{
root->_l = new treenode(data);
root->_l->_parent = root;
}
}
//更新深度
updata_deepth(root);
//判断是否失衡
if (get_balance_factor(root) == -2)
{
//LL型,左旋一次
//右子树的右子树插入导致失衡
if (get_balance_factor(root->_r) == -1)
root = LL_roate(root);
//RL型,先让右子树右旋再让根节点左旋
//右子树的左子树插入导致失衡
else if (get_balance_factor(root->_r) == 1)
root = RL_roate(root);
}
else if (get_balance_factor(root) == 2)
{
//RR型,右旋一次
//左子树的左子树插入导致失衡
if (get_balance_factor(root->_l) == 1)
root = RR_roate(root);
//LR型,先让左子树左旋再让根节点右旋
//左子树的右子树导致失衡
else if (get_balance_factor(root->_l) == -1)
root = LR_roate(root);
}
}
对于删除,需要考虑三种情况:
删除有两个子树的节点时,让左子树的最大值(前驱)或是右子树的最小值(后继)替代该节点位置,依然满足搜索二叉树。
实现时,将该节点的值直接改为前驱(后继),然后要删除节点就变为前驱(后继),再递归找到前驱(后继),最后都会转化成前两种情况。
inline treenode* AVLTree::get_lmax(treenode* lroot)
{
while (lroot->_r)
lroot = lroot->_r;
return lroot;
}
inline void AVLTree::erase(int data)
{
if (!_root)//空树不能进行删除
return;
_root = _erase(_root, data);
}
inline treenode* AVLTree::_erase(treenode* root, int data)
{
//1.删除节点
if (root->_val < data)
if (root->_r)
_erase(root->_r, data);
else if (root->_val > data)
if (root->_l)
_erase(root->_l, data);
else
{
//删除有三种情况
//1.删除节点为叶子节点
//直接删除
if (!root->_l && !root->_r)
{
if (root->_parent)
{
if (root->_parent->_l == root)
root->_parent->_l = nullptr;
else
root->_parent->_r = nullptr;
}
delete root;
root = nullptr;
}
//2.删除节点有一个子树
//将该子树代替掉删除节点的位置
else if (!root->_l || !root->_r)
{
if (root->_parent)
{
if (root->_parent->_l == root)
root->_parent->_l = root->_l ? root->_l : root->_r;
else
root->_parent->_r = root->_l ? root->_l : root->_r;
}
treenode* s = root->_l ? root->_l : root->_r;
s->_parent = root->_parent;
delete root;
root = s;
}
// 3.删除节点有两个子树
//用中序遍历的前驱或后继代替该节点
else
{
treenode* lmax = get_lmax(root->_l);
root->_val = lmax->_val;
_erase(root->_l, lmax->_val);
}
}
//2.调整高度
updata_deepth(root);
//3.调整最小不平衡子树
if (get_balance_factor(root) == 2)
{
if (get_balance_factor(root->_l) == 1)
root = RR_roate(root);
else
root = LR_roate(root);
}
else if (get_balance_factor(root) == -2)
{
if (get_balance_factor(root) == -1)
root = LL_roate(root);
else
root = RL_roate(root);
}
return root;
}
很简单,这里只给出代码
inline treenode* AVLTree::find(int data)
{
if (!_root)
return nullptr;
return _find(_root, data);
}
inline treenode* AVLTree::_find(treenode* root, int data)
{
if (!root)
return nullptr;
if (data < root->_val)
return _find(root->_l, data);
else if (data > root->_val)
return _find(root->_r, data);
else
return root;
}
平衡二叉树旋转时,交换的变量很多,要时刻记着哪些变量已经交换,哪些还没有,实现时要仔细不然很容易出现问题。
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