Optimal Insertion

题解

怎么一群人都可以在考场上切这道题呀

首先，我们观察到一个性质，我们最终得到的序列$c$中，来自$b$的元素的顺序一定是升序的，即权值不递减。
显然，对于$b_i>b_j$，$b_i$的最优决策点一定不会在$b_j$的左边，该性质在我们下面的转移过程中可以见得。
我们考虑加入$b_i$时，将$b_i$插入在$a_j$后面时会贡献的逆序对数$cos{t}_j={\sum }_{k=1}^j[a_k>b_i]+{\sum }_{k=j+1}^n[a_k<b_i]$。
显然，我们在$b_i$变大的过程中，${\sum }_{k=j+1}^n[a_k<b_i]$会不断变大，${\sum }_{k=1}^j[a_k>b_i]$会不断变小。
而由于$cos{t}_{j-1}$肯定包含$cos{t}_j$的${\sum }_{k=j+1}^n[a_k<b_i]$，所以$cos{t}_{j-1}$的${\sum }_{k=j+1}^n[a_k<b_i]$部分增加速度肯定快于$cos{t}_j$。
同理，$cos{t}_{j-1}$的${\sum }_{k=1}^j[a_k>b_i]$部分的减小速度也一定慢于$cos{t}_j$。
故$cos{t}_j$的增长速度是慢于$cos{t}_{j-1}$，所以我们的最优决策点是不断右移的。
很显然，我们可以用双指针加线段树维护我们的$cost$值的变化，对于每个$b_i$都加上最小的$cost$即可。
时间复杂度$O\left(n\log n\right)$。
注意维护原来$a$序列的逆序对数。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;       
const int INF=0x3f3f3f3f;       
const int mo=998244353;
const int inv2=499122177;
const int jzm=2333;
const int zero=10000;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-5;
typedef pair<LL,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){
    return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
    
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){
    if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){
    x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){
    if(x<0){
    x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){
    return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){
    return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){
    x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){
    int t=1;while(s){
    if(s&1LL)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1LL;}return t;}
int n,m,b[MAXN],T,tr[MAXN<<2],lzy[MAXN<<2],sum[MAXN];pii a[MAXN];LL ans;
void build(int rt,int l,int r){
    
	lzy[rt]=tr[rt]=0;if(l==r)return ;int mid=l+r>>1;
	build(lson,l,mid);build(rson,mid+1,r);
	tr[rt]=min(tr[lson],tr[rson]);
}
void pushdown(int rt){
    
	if(!lzy[rt])return ;
	tr[lson]+=lzy[rt];lzy[lson]+=lzy[rt];
	tr[rson]+=lzy[rt];lzy[rson]+=lzy[rt];
	lzy[rt]=0;
}
void modify(int rt,int l,int r,int al,int ar,int aw){
    
	if(l>r||l>ar||r<al||al>ar)return ;
	if(al<=l&&r<=ar){
    tr[rt]+=aw;lzy[rt]+=aw;return ;}
	int mid=l+r>>1;pushdown(rt);
	if(al<=mid)modify(lson,l,mid,al,ar,aw);
	if(ar>mid)modify(rson,mid+1,r,al,ar,aw);
	tr[rt]=min(tr[lson],tr[rson]);
}
void insert(int pos){
    while(pos)sum[pos]++,pos-=lowbit(pos);}
int query(int pos){
    int res=0;while(pos<=n)res+=sum[pos],pos+=lowbit(pos);return res;}
signed main(){
    
	read(T);
	while(T--){
    
		read(n);read(m);ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i].fir),a[i].sec=i;
		for(int i=1;i<=m;i++)read(b[i]);
		sort(a+1,a+n+1);sort(b+1,b+m+1);build(1,0,n);
		for(int i=1;i<=n;i++)modify(1,0,n,i,n,1);
		for(int i=1,j=1,k=1;i<=m;i++){
    
			for(;a[k].fir<=b[i]&&k<=n;k++)modify(1,0,n,a[k].sec,n,-1);
			for(;a[j].fir<b[i]&&j<=n;j++)modify(1,0,n,0,a[j].sec-1,1);
			ans+=1ll*tr[1];
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=0;
		for(int i=1,j=1;i<=n;i++){
    
			while(a[j].fir<a[i].fir)insert(a[j].sec),j++;
			ans+=1ll*query(a[i].sec);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

谢谢！！！