之前我们讨论的PCA、ICA也好,对样本数据来言,可以是没有类别标签y的。回想我们做回归时,如果特征太多,那么会产生不相关特征引入、过度拟合等问题。我们可以使用PCA来降维,但PCA没有将类别标签考虑进去,属于无监督的。
比如回到上次提出的文档中含有“learn”和“study”的问题,使用PCA后,也许可以将这两个特征合并为一个,降了维度。但假设我们的类别标签y是判断这篇文章的topic是不是有关学习方面的。那么这两个特征对y几乎没什么影响,完全可以去除。
再举一个例子,假设我们对一张100*100像素的图片做人脸识别,每个像素是一个特征,那么会有10000个特征,而对应的类别标签y仅仅是0/1值,1代表是人脸。这么多特征不仅训练复杂,而且不必要特征对结果会带来不可预知的影响,但我们想得到降维后的一些最佳特征(与y关系最密切的),怎么办呢?
回顾我们之前的logistic回归方法,给定m个n维特征的训练样例(i从1到m),每个对应一个类标签。我们就是要学习出参数,使得(g是sigmoid函数)。
现在只考虑二值分类情况,也就是y=1或者y=0。
为了方便表示,我们先换符号重新定义问题,给定特征为d维的N个样例,,其中有个样例属于类别,另外个样例属于类别。
现在我们觉得原始特征数太多,想将d维特征降到只有一维,而又要保证类别能够“清晰”地反映在低维数据上,也就是这一维就能决定每个样例的类别。
我们将这个最佳的向量称为w(d维),那么样例x(d维)到w上的投影可以用下式来计算
这里得到的y值不是0/1值,而是x投影到直线上的点到原点的距离。
当x是二维的,我们就是要找一条直线(方向为w)来做投影,然后寻找最能使样本点分离的直线。如下图:
从直观上来看,右图比较好,可以很好地将不同类别的样本点分离。
接下来我们从定量的角度来找到这个最佳的w。
首先我们寻找每类样例的均值(中心点),这里i只有两个
由于x到w投影后的样本点均值为
由此可知,投影后的的均值也就是样本中心点的投影。
什么是最佳的直线(w)呢?我们首先发现,能够使投影后的两类样本中心点尽量分离的直线是好的直线,定量表示就是:
J(w)越大越好。
但是只考虑J(w)行不行呢?不行,看下图
样本点均匀分布在椭圆里,投影到横轴x1上时能够获得更大的中心点间距J(w),但是由于有重叠,x1不能分离样本点。投影到纵轴x2上,虽然J(w)较小,但是能够分离样本点。因此我们还需要考虑样本点之间的方差,方差越大,样本点越难以分离。
我们使用另外一个度量值,称作散列值(scatter),对投影后的类求散列值,如下
从公式中可以看出,只是少除以样本数量的方差值,散列值的几何意义是样本点的密集程度,值越大,越分散,反之,越集中。
而我们想要的投影后的样本点的样子是:不同类别的样本点越分开越好,同类的越聚集越好,也就是均值差越大越好,散列值越小越好。正好,我们可以使用J(w)和S来度量,最终的度量公式是
接下来的事就比较明显了,我们只需寻找使J(w)最大的w即可。
先把散列值公式展开
我们定义上式中中间那部分
这个公式的样子不就是少除以样例数的协方差矩阵么,称为散列矩阵(scatter matrices)
我们继续定义
称为Within-class scatter matrix。
然后,我们展开分子
称为Between-class scatter,是两个向量的外积,虽然是个矩阵,但秩为1。
那么J(w)最终可以表示为
在我们求导之前,需要对分母进行归一化,因为不做归一的话,w扩大任何倍,都成立,我们就无法确定w。因此我们打算令,那么加入拉格朗日乘子后,求导
这个公式称为Fisher linear discrimination。
那么
代入最后的特征值公式得
由于对w扩大缩小任何倍不影响结果,因此可以约去两边的未知常数和,得到
至此,我们只需要求出原始样本的均值和方差就可以求出最佳的方向w,这就是Fisher于1936年提出的线性判别分析。
看上面二维样本的投影结果图:
前面是针对只有两个类的情况,假设类别变成多个了,那么要怎么改变,才能保证投影后类别能够分离呢?
我们之前讨论的是如何将d维降到一维,现在类别多了,一维可能已经不能满足要求。假设我们有C个类别,需要K维向量(或者叫做基向量)来做投影。
为了像上节一样度量J(w),我们打算仍然从类间散列度和类内散列度来考虑。
当样本是二维时,我们从几何意义上考虑:
其中和与上节的意义一样,是类别1里的样本点相对于该类中心点的散列程度。变成类别1中心点相对于样本中心点的协方差矩阵,即类1相对于的散列程度。
需要变,原来度量的是两个均值点的散列情况,现在度量的是每类均值点相对于样本中心的散列情况。类似于将看作样本点,是均值的协方差矩阵,如果某类里面的样本点较多,那么其权重稍大,权重用Ni/N表示,但由于J(w)对倍数不敏感,因此使用Ni。
其中
上面讨论的都是在投影前的公式变化,但真正的J(w)的分子分母都是在投影后计算的。下面我们看样本点投影后的公式改变:
这两个是第i类样本点在某基向量上投影后的均值计算公式。
W是基向量矩阵,是投影后的各个类内部的散列矩阵之和,是投影后各个类中心相对于全样本中心投影的散列矩阵之和。
回想我们上节的公式J(w),分子是两类中心距,分母是每个类自己的散列度。现在投影方向是多维了(好几条直线),分子需要做一些改变,我们不是求两两样本中心距之和(这个对描述类别间的分散程度没有用),而是求每类中心相对于全样本中心的散列度之和。
然而,最后的J(w)的形式是
由于我们得到的分子分母都是散列矩阵,要将矩阵变成实数,需要取行列式。又因为行列式的值实际上是矩阵特征值的积,一个特征值可以表示在该特征向量上的发散程度。因此我们使用行列式来计算(此处我感觉有点牵强,道理不是那么有说服力)。
整个问题又回归为求J(w)的最大值了,我们固定分母为1,然后求导,得出最后结果(我翻查了很多讲义和文章,没有找到求导的过程)
与上节得出的结论一样
最后还归结到了求矩阵的特征值上来了。首先求出的特征值,然后取前K个特征向量组成W矩阵即可。
注意:由于中的 秩为1,因此的秩至多为C(矩阵的秩小于等于各个相加矩阵的秩的和)。由于知道了前C-1个后,最后一个可以有前面的来线性表示,因此的秩至多为C-1。那么K最大为C-1,即特征向量最多有C-1个。特征值大的对应的特征向量分割性能最好。
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