矩阵出现重复特征值，其特征向量的简便求法_特征值重复的时候求特征向量-程序员宅基地
矩阵重复特征值时，特征向量的简便求法
STEP 1 算特征值
设方阵A，比如说：
1 2 4 5
0 1 0 8
0 0 1 5
0 0 0 2
算它的特征值比如说a1=a2=a3=1, a4=2
STEP 2 找零度
-
首先构造（A-a1*E）矩阵
0 2 4 5
0 0 0 8
0 0 0 5
0 0 0 1 -
求（A-a1*E）的零度, null= n - rank ；%n 是方阵的阶数，null是零度， rank是矩阵的秩。
-
如例，此时rank=2, null=2。
STEP 3 判断零度null与特征值重复次数是否相等
- 如例，a1= a2= a3, 特征值重复了三次， 零度null=2。
- 若特征值与（A-a1*E）零度不同，进入STEP 4；若相同，进入STEP 5
STEP 4 使零度null与特征值重数相等
这一步就是疯狂对（A-a1*E）平方，直到平方后零度=特征值重数
- 因为（A-a1*E）的零度与特征值重复次数不等，我们给它来个平方再算。
- (A-a1*E)2=
0 0 0 41
0 0 0 8
0 0 0 5
0 0 0 1
此时null=3，与特征值重复次数相等。 - 有的时候（A-a1E）平方后null也和特征值重复次数不同，那就对（A-a1E）立方，四次方， etc… 设这个次方数设为k，如例 k=2 。
STEP 5 找出部分特征向量
- 求解Q
解这个超简单，因为（A-a1*E）k的零度很高，基本上把矩阵写开，一眼就能看出来。 - 首先解第一个等式，它是可以解出null=3个线性无关解。
如例k=2, Q1=[1 0 0 0]’ Q2=[0 1 0 0]’ Q3=[0 0 1 0]’ - 满足第二个等式的解有两个，Q1不满足。 为了方便大家验证，我把矩阵写到下面。
(A-a1E)=
0 2 4 5
0 0 0 8
0 0 0 5
0 0 0 1
(A-a1E)2=
0 0 0 41
0 0 0 8
0 0 0 5
0 0 0 1
STEP 6 找出全部特征向量
- 刚才发现Q1不满足第二个等式，所以我们要求解真正的Q1。
- 利用 Qn=(A-a1*E)Qn+1 算出剩下的Q
- 解得Q1=[2 0 0 0]
- 最后用常规解法求出不重复特征值的特征向量
Q4=[41 8 5 1] - 最后四个特征向量全算出来了。
Q=
2 0 0 41
0 1 0 8
0 0 1 5
0 0 0 1
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