技术标签: 莫比乌斯反演
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反演
∏ T = 1 min ( n , m ) ( ∏ d ∣ T f i b ( d ) μ ( d ) ) ⌊ n / d ⌋ ⌊ m / d ⌋ \prod_{T=1}^{\min(n,m)}(\prod_{d|T}fib(d)^{\mu(d)})^{\lfloor n/d\rfloor\lfloor m/d\rfloor} T=1∏min(n,m)(d∣T∏fib(d)μ(d))⌊n/d⌋⌊m/d⌋
预处理出中间部分,整除分块即可。
注意不要暴力算 f i b ( d ) fib(d) fib(d)的逆元,可以预处理出逆元。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while((ch<'0')||(ch>'9'))
{
if(ch=='-')
{
f=-f;
}
ch=getchar();
}
while((ch>='0')&&(ch<='9'))
{
x=x*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return x*f;
}
const int maxn=1000000;
const int mod=1000000007;
const int pmod=mod-1;
int quickpow(int a,int b)
{
int res=1;
while(b)
{
if(b&1)
{
res=1ll*res*a%mod;
}
a=1ll*a*a%mod;
b>>=1;
}
return res;
}
int p[maxn+10],prime[maxn+10],cnt,mu[maxn+10],f[maxn+10],fib[maxn+10],ifib[maxn+10];
int getprime()
{
p[1]=mu[1]=1;
for(int i=2; i<=maxn; ++i)
{
if(!p[i])
{
prime[++cnt]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=1; (j<=cnt)&&(i*prime[j]<=maxn); ++j)
{
int x=i*prime[j];
p[x]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
mu[x]=0;
break;
}
mu[x]=-mu[i];
}
}
fib[0]=ifib[0]=0;
fib[1]=ifib[1]=1;
for(int i=2; i<=maxn; ++i)
{
fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
if(fib[i]>=mod)
{
fib[i]-=mod;
}
ifib[i]=quickpow(fib[i],mod-2);
}
for(int i=0; i<=maxn; ++i)
{
f[i]=1;
}
for(int d=1; d<=maxn; ++d)
{
for(int T=d; T<=maxn; T+=d)
{
if(mu[T/d]==1)
{
f[T]=1ll*f[T]*fib[d]%mod;
}
else if(mu[T/d]==-1)
{
f[T]=1ll*f[T]*ifib[d]%mod;
}
}
}
for(int i=1; i<=maxn; ++i)
{
f[i]=1ll*f[i]*f[i-1]%mod;
}
return 0;
}
int T,n,m;
int main()
{
getprime();
T=read();
while(T--)
{
n=read();
m=read();
int res=1;
for(int l=1,r; l<=std::min(n,m); l=r+1)
{
r=std::min(n/(n/l),m/(m/l));
res=1ll*res*quickpow(1ll*f[r]*quickpow(f[l-1],mod-2)%mod,1ll*(n/l)*(m/l)%pmod)%mod;
}
printf("%d\n",res);
}
return 0;
}
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