技术标签: 计算机视觉 图像处理 Computer Vision
欢迎访问 持续更新:https://cgabc.xyz/posts/bcb5a7d3/
法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示(选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的),即 任何周期信号都可以表示成一系列正弦信号的叠加
f ( t ) = a 0 2 + ∑ k = 1 + ∞ [ a k c o s ( n ω t ) + b k s i n ( n ω t ) ] , a 0 2 = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) d t f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{+\infty} \big[ a_k cos (n \omega t) + b_k sin (n \omega t) \big], \quad \frac{a_0}{2} = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) dt f(t)=2a0+k=1∑+∞[akcos(nωt)+bksin(nωt)],2a0=T1∫−2T2Tf(t)dt
f ( t ) = 1 T ∑ n = − ∞ + ∞ [ ∫ − T 2 T 2 f ( τ ) e − j ω n τ d τ ] e j ω n t f(t) = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} [ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(\tau)e^{-j\omega_n\tau} d\tau ] e^{j\omega_nt} f(t)=T1n=−∞∑+∞[∫−2T2Tf(τ)e−jωnτdτ]ejωnt
基波角频率 ω = 2 π T \omega = \frac{2\pi}{T} ω=T2π , T T T 为 f ( t ) f(t) f(t) 的周期, j j j 为虚数单位
复指数形式
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) e − j ω τ d τ ] e j ω t d ω f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} [ \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)e^{-j\omega\tau} d\tau ] e^{j\omega t} d\omega f(t)=2π1∫−∞+∞[∫−∞+∞f(τ)e−jωτdτ]ejωtdω
正变换 为
F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t d t F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt
逆变换 为
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e j ω t d ω f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega f(t)=2π1∫−∞+∞F(ω)ejωtdω
正变换 为
F ( u ) = ∑ x = 0 M − 1 f ( x ) e − j 2 π u x M F(u) = \sum_{x=0}^{M-1} f(x) e^{-j2\pi \frac{ux}{M}} F(u)=x=0∑M−1f(x)e−j2πMux
则
F ( 0 ) = ∑ x = 0 M − 1 f ( x ) F(0) = \sum_{x=0}^{M-1} f(x) F(0)=x=0∑M−1f(x)
反变换 为
f ( x ) = 1 M ∑ u = 0 M − 1 F ( u ) e j 2 π u x M f(x) = \frac{1}{M} \sum_{u=0}^{M-1} F(u) e^{j2\pi \frac{ux}{M}} f(x)=M1u=0∑M−1F(u)ej2πMux
对于反变换式前的系数 1 M \frac{1}{M} M1 ,也可放在正变换中,只要保证正变换与反变换之前的系数乘积为 1 M \frac{1}{M} M1 即可。
二维离散傅里叶变换:
F [ f ( x , y ) ] = F ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − j 2 π ( u x M + v y N ) F[f(x,y)] = F(u,v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})} F[f(x,y)]=F(u,v)=x=0∑M−1y=0∑N−1f(x,y)e−j2π(Mux+Nvy)
当 ( u , v ) (u,v) (u,v) 等于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 时,直流分量 为:
F ( 0 , 0 ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) F(0,0) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) F(0,0)=x=0∑M−1y=0∑N−1f(x,y)
幅度谱 为:
A ( u , v ) = ∣ F ( u , v ) ∣ = R e a l ( u , v ) 2 + I m a g e ( u , u ) 2 A(u,v) = |F(u,v)| = \sqrt{Real(u,v)^2 + Image(u,u)^2} A(u,v)=∣F(u,v)∣=Real(u,v)2+Image(u,u)2
功率谱 为:
P ( u , v ) = ∣ F ( u , v ) ∣ 2 = R e a l ( u , v ) 2 + I m a g e ( u , u ) 2 P(u,v) = |F(u,v)|^{2} = Real(u,v)^2 + Image(u,u)^2 P(u,v)=∣F(u,v)∣2=Real(u,v)2+Image(u,u)2
相位谱 为:
ϕ ( u , v ) = a r c t a n I m a g e ( u , v ) R e a l ( u , v ) \phi(u,v) = arctan \frac{Image(u,v)}{Real(u,v)} ϕ(u,v)=arctanReal(u,v)Image(u,v)
通过 幅度谱 和 相位谱,我们也能合成 其傅里叶变换(频谱):
F ( u , v ) = A ( u , v ) e j ϕ ( u , v ) = A ( c o s ϕ + j s i n ϕ ) (省略(u,v),应用 欧拉公式) = A c o s ϕ + j A s i n ϕ \begin{aligned} F(u,v) &= A(u,v)e^{j\phi(u,v)} \\ &= A( cos \phi + jsin \phi ) \quad \text{(省略(u,v),应用 欧拉公式)}\\ &= Acos\phi + jAsin\phi \end{aligned} F(u,v)=A(u,v)ejϕ(u,v)=A(cosϕ+jsinϕ)(省略(u,v),应用 欧拉公式)=Acosϕ+jAsinϕ
注意:
f ( x , y ) = F − 1 ( u , v ) = 1 M N ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ( u , v ) e j 2 π ( u x M + v y N ) f(x,y) = F^{-1}(u,v) = \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})} f(x,y)=F−1(u,v)=MN1u=0∑M−1v=0∑N−1F(u,v)ej2π(Mux+Nvy)
∫ − ∞ + ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau) d\tau = f_1(t) * f_2(t) ∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτ=f1(t)∗f2(t)
函数卷积的傅立叶变换是函数傅立叶变换的乘积
F [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ] = F 1 ( ω ) ⋅ F 2 ( ω ) F[f_1(t) * f_2(t)] = F_1(\omega) \cdot F_2(\omega) F[f1(t)∗f2(t)]=F1(ω)⋅F2(ω)
F [ f 1 ( t ) ⋅ f 2 ( t ) ] = 1 2 π F 1 ( ω ) ∗ F 2 ( ω ) F[f_1(t) \cdot f_2(t)] = \frac{1}{2\pi} F_1(\omega) * F_2(\omega) F[f1(t)⋅f2(t)]=2π1F1(ω)∗F2(ω)
借用知乎大神Heinrich的一张图,来个感性认识:
空间域与频域可互相转换,对图像施行 二维离散傅立叶变换 或 小波变换 ,可以将图像由空间域转换到频域;通过 对应的反变换 又可转换回空间域图像,即人可以直接识别的图像。
二维数字图像的滤波主要分为 空间域滤波 和 频域滤波:
空间域滤波: 用各种模板直接与图像进行 卷积运算,实现对图像的处理,这种方法直接对图像空间操作,操作简单
频域滤波: 在实现某些图像处理的时候,频域的处理比空间域更简单;对于在空间域上的数字图像,根据 卷积定理 可以通过 傅立叶变换 将 空域卷积滤波 变换为 频域滤波,然后再将频域滤波处理后的图像 反变换 回空间域
图像频域滤波步骤为(频谱图中心化):
上面步骤是对 图像频谱 进行 中心变换;我们也可以先对 原始图像 进行 中心变换,再计算其 频谱图,滤波步骤如下(原始图中心化):
滤波能否取得理想结果的关键取决于上面的 滤波器函数 H ( u , v ) H(u,v) H(u,v) 。
这时让我想到了《自动控制理论》中的 传递函数 G ( s ) G(s) G(s),定义为:初始条件为零的线性定常系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。
下面以 控制论的思想 给出图像频域滤波的示意框图:
频谱图上的每一个像素点都代表一个频率值,幅值由像素点亮度变码而得。对于一幅图像,图像信号的 频率特性 如下:
数字图像的二维离散傅立叶变换所得的结果的频域成分如下图所示,左上角是直流成分,变换结果四个角周围对应于低频成分,中央部分对应于高频部分
为了便于观察,常常采取 换位 方法使直流成分出现在窗口的中央(中心化),变换后中心为低频,向外是高频。
在频域,可以很方便的实现 图像的锐化和模糊:
下面,我们以 lena.bmp(点此下载) 图像进行滤波实践。
(1)加载图像,并转换为 灰度图 为
(2)对其 快速傅里叶变换,并经过 中心变换,得到 频率谱 和 相位谱
(3)分别截取 频谱图 的 低频部分(中间部分) 和 高频分量(四周部分)
(4)对以上处理过的频谱图分别进行 反中心化、傅里叶反变换、取实部,得到 低通滤波 和 高通滤波 后的图像
使用 CImg 和 FFTW库 对 lena图像进行傅里叶变换(源代码见文末),结果如下
以上所有代码均存储在我的Github仓库:
文章浏览阅读290次,点赞8次,收藏10次。1.背景介绍稀疏编码是一种用于处理稀疏数据的编码技术,其主要应用于信息传输、存储和处理等领域。稀疏数据是指数据中大部分元素为零或近似于零的数据,例如文本、图像、音频、视频等。稀疏编码的核心思想是将稀疏数据表示为非零元素和它们对应的位置信息,从而减少存储空间和计算复杂度。稀疏编码的研究起源于1990年代,随着大数据时代的到来,稀疏编码技术的应用范围和影响力不断扩大。目前,稀疏编码已经成为计算...
文章浏览阅读217次。EasyGBS - GB28181 国标方案安装使用文档下载安装包下载,正式使用需商业授权, 功能一致在线演示在线API架构图EasySIPCMSSIP 中心信令服务, 单节点, 自带一个 Redis Server, 随 EasySIPCMS 自启动, 不需要手动运行EasySIPSMSSIP 流媒体服务, 根..._easygbs-windows-2.6.0-23042316使用文档
文章浏览阅读1.2k次,点赞27次,收藏7次。2023巅峰极客 BabyURL之前AliyunCTF Bypassit I这题考查了这样一条链子:其实就是Jackson的原生反序列化利用今天复现的这题也是大同小异,一起来整一下。_原生jackson 反序列化链子
文章浏览阅读734次,点赞9次,收藏7次。微服务架构简单的说就是将单体应用进一步拆分,拆分成更小的服务,每个服务都是一个可以独立运行的项目。这么多小服务,如何管理他们?(服务治理 注册中心[服务注册 发现 剔除])这么多小服务,他们之间如何通讯?这么多小服务,客户端怎么访问他们?(网关)这么多小服务,一旦出现问题了,应该如何自处理?(容错)这么多小服务,一旦出现问题了,应该如何排错?(链路追踪)对于上面的问题,是任何一个微服务设计者都不能绕过去的,因此大部分的微服务产品都针对每一个问题提供了相应的组件来解决它们。_spring cloud
文章浏览阅读5.9k次,点赞6次,收藏20次。Js实现图片点击切换与轮播图片点击切换<!DOCTYPE html><html> <head> <meta charset="UTF-8"> <title></title> <script type="text/ja..._点击图片进行轮播图切换
文章浏览阅读10w+次,点赞245次,收藏1.5k次。在开始安装前,如果你的电脑装过tensorflow,请先把他们卸载干净,包括依赖的包(tensorflow-estimator、tensorboard、tensorflow、keras-applications、keras-preprocessing),不然后续安装了tensorflow-gpu可能会出现找不到cuda的问题。cuda、cudnn。..._tensorflow gpu版本安装
文章浏览阅读243次。0x00 简介权限滥用漏洞一般归类于逻辑问题,是指服务端功能开放过多或权限限制不严格,导致攻击者可以通过直接或间接调用的方式达到攻击效果。随着物联网时代的到来,这种漏洞已经屡见不鲜,各种漏洞组合利用也是千奇百怪、五花八门,这里总结漏洞是为了更好地应对和预防,如有不妥之处还请业内人士多多指教。0x01 背景2014年4月,在比特币飞涨的时代某网站曾经..._使用物联网漏洞的使用者
文章浏览阅读786次。A. Epipolar geometry and triangulationThe epipolar geometry mainly adopts the feature point method, such as SIFT, SURF and ORB, etc. to obtain the feature points corresponding to two frames of images. As shown in Figure 1, let the first image be and th_normalized plane coordinates
文章浏览阅读708次,点赞2次,收藏3次。开放信息抽取(OIE)系统(三)-- 第二代开放信息抽取系统(人工规则, rule-based, 先关系再实体)一.第二代开放信息抽取系统背景 第一代开放信息抽取系统(Open Information Extraction, OIE, learning-based, 自学习, 先抽取实体)通常抽取大量冗余信息,为了消除这些冗余信息,诞生了第二代开放信息抽取系统。二.第二代开放信息抽取系统历史第二代开放信息抽取系统着眼于解决第一代系统的三大问题: 大量非信息性提取(即省略关键信息的提取)、_语义角色增强的关系抽取
文章浏览阅读1.1w次,点赞6次,收藏51次。快速完成网页设计,10个顶尖响应式HTML5网页模板助你一臂之力为了寻找一个优质的网页模板,网页设计师和开发者往往可能会花上大半天的时间。不过幸运的是,现在的网页设计师和开发人员已经开始共享HTML5,Bootstrap和CSS3中的免费网页模板资源。鉴于网站模板的灵活性和强大的功能,现在广大设计师和开发者对html5网站的实际需求日益增长。为了造福大众,Mockplus的小伙伴整理了2018年最..._html欢迎页面
文章浏览阅读282次。原标题:2018全国计算机等级考试调整,一、二级都增加了考试科目全国计算机等级考试将于9月15-17日举行。在备考的最后冲刺阶段,小编为大家整理了今年新公布的全国计算机等级考试调整方案,希望对备考的小伙伴有所帮助,快随小编往下看吧!从2018年3月开始,全国计算机等级考试实施2018版考试大纲,并按新体系开考各个考试级别。具体调整内容如下:一、考试级别及科目1.一级新增“网络安全素质教育”科目(代..._计算机二级增报科目什么意思
文章浏览阅读240次。conan简单使用。_apt install conan