矩阵的秩

定义1.1：对于$m\times n$阶矩阵$\mathbf{A}$，将不为零的子式的最大阶数$k$称作矩阵$\mathbf{A}$的秩，记作$r(\mathbf{A})=k$。

定理1.1：初等变换不改变矩阵的秩.

证明: \quad 先证明$\mathbf{A}$经过一次初等行变换为$\mathbf{B}$,则$r(\mathbf{A})\le r(\mathbf{B})$.
\qquad \quad 设$r(\mathbf{A})=k$,则$\mathbf{A}$的一个$k$阶子式$\mathbf{D}\ne 0$.
\qquad \quad (1)若进行$\mathbf{A}$交换两行的初等变换为$\mathbf{B}$，显然能找到子式${\mathbf{D}}_1=-\mathbf{D}$ or $\mathbf{D}\ne 0$,故$r(\mathbf{B})\ge k$.
\qquad \quad (2)若进行$\mathbf{A}$某行数乘的初等变换为$\mathbf{B}$，显然能找到子式${\mathbf{D}}_1=k\mathbf{D}$ or $\mathbf{D}\ne 0$,故$r(\mathbf{B})\ge k$.
\qquad \quad (3)若将第$i$行的$k$倍加至第$j$行变换为$\mathbf{B}$，分如下情况考虑：
\qquad \quad \quad (3.1)如$\mathbf{A}$的k阶子式$\mathbf{D}$不包含第$j$行，则$\mathbf{B}$同样包含子式$\mathbf{D}$,故$r(\mathbf{B})\ge k$.
\qquad \quad \quad (3.2)如$\mathbf{A}$的k阶子式$\mathbf{D}$包含第$j$行，则$\mathbf{B}$对应(${\mathbf{D}}_1与\mathbf{D}$行对应)子式有：
\qquad \quad \qquad \quad \qquad ${\mathbf{D}}_1=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_p\\ ⋮\\ {\alpha }_l\\ ⋮\\ {\alpha }_j+k{\alpha }_i\\ ⋮\\ {\alpha }_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_p\\ ⋮\\ {\alpha }_l\\ ⋮\\ {\alpha }_j\\ ⋮\\ {\alpha }_q\end{array}\right]+k\left[\begin{array}{c}{\alpha }_p\\ ⋮\\ {\alpha }_l\\ ⋮\\ {\alpha }_i\\ ⋮\\ {\alpha }_q\end{array}\right]=\mathbf{D}+k{\mathbf{D}}_2$
\qquad \quad \qquad \quad 若${\mathbf{D}}_1$包含$\mathbf{D}$的第$i$行，即${\alpha }_l={\alpha }_i$,则${\mathbf{D}}_2=0$,此时${\mathbf{D}}_1\ne 0$.
\qquad \quad \qquad \quad 若${\mathbf{D}}_1$不包含$\mathbf{D}$的第$i$行,则${\mathbf{D}}_1-k{\mathbf{D}}_2=\mathbf{D}\ne 0$,那么${\mathbf{D}}_1$与${\mathbf{D}}_2$不同时为零
\qquad \quad 综上，总可以寻找到$\mathbf{B}$的$k$阶子式不为零，即$r(\mathbf{B})\ge k=r(\mathbf{A})$.
\qquad \quad 由传递性，进行初等行变换将不影响矩阵的秩。
\qquad \quad 对${\mathbf{A}}^T$进行初等行变换为${\mathbf{B}}^T$即相当于对$\mathbf{A}$进行列变换为$\mathbf{B}$，又$r({\mathbf{A}}^T)=r({\mathbf{B}}^T)$,且转置不
\qquad \quad 影响矩阵的秩，则$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$,即初等列变换也不影响矩阵的秩。

定理1.2：设有$m\times n$阶矩阵$\mathbf{A}$与可逆矩阵$\mathbf{P}$($m$阶),$\mathbf{Q}$($n$阶),则有$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{PA})=r(\mathbf{AQ})=r(\mathbf{PAQ})$,即左(右)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩。

证明该定理需先理解定理1.3与定理1.4：

定理1.3：对$\mathbf{A}$进行初等行变换相当于左乘一系列初等矩阵(${\mathbf{R}}_{ij}$ or ${\mathbf{R}}_{i(k)}$or ${\mathbf{R}}_{i+j(k)}$),对$\mathbf{A}$进行初等列变换相当于右乘一系列初等矩阵(${\mathbf{C}}_{ij}$ or ${\mathbf{C}}_{i(k)}$or ${\mathbf{C}}_{i+j(k)}$).

定义1.2：对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，包括：
(1)替换任意两行(或者两列)${\mathbf{R}}_{\mathbf{ij}}$(或${\mathbf{C}}_{\mathbf{ij}}$).
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $i$列 \qquad $j$列
\qquad \quad \qquad \quad ${\mathbf{R}}_{\mathbf{ij}}={\mathbf{C}}_{\mathbf{ij}}=\left[\begin{array}{c}10\dots 000\dots 000\dots 0\\ 01\dots 000\dots 000\dots 0\\ ⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮\\ 00\dots 100\dots 000\dots 0\\ 00\dots 000\dots 010\dots 0\\ 00\dots 001\dots 000\dots 0\\ ⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮\\ 00\dots 000\dots 100\dots 0\\ 00\dots 010\dots 000\dots 0\\ 00\dots 000\dots 001\dots 0\\ ⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮\\ 00\dots 000\dots 000\dots 1\end{array}\right]$$\begin{array}{c}\\ \\ \\ \\ i行\\ \\ \\ \\ j行\\ \\ \\ \end{array}$
(2)非零数$k$乘任意行(或列)${\mathbf{R}}_{\mathbf{i}(\mathbf{k})}$(或${\mathbf{C}}_{\mathbf{i}(\mathbf{k})}$).
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $i$列 \qquad
\qquad \quad \qquad ${\mathbf{R}}_{\mathbf{i}(\mathbf{k})}={\mathbf{C}}_{\mathbf{i}(\mathbf{k})}=\left[\begin{array}{c}10\dots 000\dots 000\dots 0\\ 01\dots 000\dots 000\dots 0\\ ⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮\\ 00\dots 100\dots 000\dots 0\\ 00\dots 0k0\dots 000\dots 0\\ 00\dots 001\dots 000\dots 0\\ ⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮\\ 00\dots 000\dots 100\dots 0\\ 00\dots 000\dots 010\dots 0\\ 00\dots 000\dots 001\dots 0\\ ⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮\\ 00\dots 000\dots 000\dots 1\end{array}\right]$$\begin{array}{c}\\ \\ \\ \\ i行\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}$
(3)某行(或列)的倍数加至另一行(或列)上${\mathbf{R}}_{\mathbf{i}+\mathbf{j}(\mathbf{k})}$(或${\mathbf{C}}_{\mathbf{i}+\mathbf{j}(\mathbf{k})}$).
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $i$列 \qquad $j$列
\qquad \quad ${\mathbf{R}}_{\mathbf{i}+\mathbf{j}(\mathbf{k})}={\mathbf{C}}_{\mathbf{j}+\mathbf{i}(\mathbf{k})}=\left[\begin{array}{c}10\dots 000\dots 000\dots 0\\ 01\dots 000\dots 000\dots 0\\ ⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮\\ 00\dots 100\dots 000\dots 0\\ 00\dots 010\dots 0k0\dots 0\\ 00\dots 001\dots 000\dots 0\\ ⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮\\ 00\dots 000\dots 100\dots 0\\ 00\dots 000\dots 010\dots 0\\ 00\dots 000\dots 001\dots 0\\ ⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮\\ 00\dots 000\dots 000\dots 1\end{array}\right]$$\begin{array}{c}\\ \\ \\ \\ i行\\ \\ \\ \\ j行\\ \\ \\ \end{array}$
由行列式的性质可知初等矩阵的行列式均不为零，则初等矩阵为可逆矩阵，易验证其逆分别为：

\qquad\qquad\qquad ${\mathbf{R}}_{\mathbf{ij}}^{-1}={\mathbf{R}}_{\mathbf{ij}}$; \qquad ${\mathbf{R}}_{\mathbf{i}(\mathbf{k})}^{-1}={\mathbf{R}}_{\mathbf{i}(\frac{1}{\mathbf{k}})}$; \qquad ${\mathbf{R}}_{\mathbf{i}+\mathbf{j}(\mathbf{k})}^{-1}={\mathbf{R}}_{\mathbf{i}-\mathbf{j}(\mathbf{k})}$;
\qquad\qquad\qquad ${\mathbf{C}}_{\mathbf{ij}}^{-1}={\mathbf{C}}_{\mathbf{ij}}$; \qquad ${\mathbf{C}}_{\mathbf{i}(\mathbf{k})}^{-1}={\mathbf{C}}_{\mathbf{i}(\frac{1}{\mathbf{k}})}$; \qquad ${\mathbf{C}}_{\mathbf{i}+\mathbf{j}(\mathbf{k})}^{-1}={\mathbf{C}}_{\mathbf{i}-\mathbf{j}(\mathbf{k})}$;
现对定理1.3进行证明：

证明： \quad 现有$m\times n$阶矩阵$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{c}{A}_1^r\\ A_2^r\\ ⋮\\ A_m^r\end{array}\right]$(按行分块)与$m$阶方阵$\mathbf{B}$.

\qquad    \ \ \quad   则，$\mathbf{BA}=\left[\begin{array}{c}{b}_{11}{\mathbf{A}}_1^{\mathbf{r}}+b_{12}{\mathbf{A}}_2^{\mathbf{r}}+\cdots +b_{1m}{\mathbf{A}}_{\mathbf{m}}^{\mathbf{r}}\\ b_{21}{\mathbf{A}}_1^{\mathbf{r}}+b_{22}{\mathbf{A}}_2^{\mathbf{r}}+\cdots +b_{2m}{\mathbf{A}}_{\mathbf{m}}^{\mathbf{r}}\\ ⋮\\ b_{m1}{\mathbf{A}}_1^{\mathbf{r}}+b_{m2}{\mathbf{A}}_2^{\mathbf{r}}+\cdots +b_{mm}{\mathbf{A}}_{\mathbf{m}}^{\mathbf{r}}\end{array}\right]$

\qquad    \ \ \quad   (1)若$\mathbf{B}={\mathbf{R}}_{\mathbf{ij}}$,则$\mathbf{BA}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{A}}_1^{\mathbf{r}}\\ {\mathbf{A}}_2^{\mathbf{r}}\\ ⋮\\ {\mathbf{A}}_{\mathbf{j}}^{\mathbf{r}}\\ ⋮\\ {\mathbf{A}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{r}}\\ ⋮\\ {\mathbf{A}}_{\mathbf{m}}^{\mathbf{r}}\end{array}\right]$;
\qquad    \ \ \quad   (2)若$\mathbf{B}={\mathbf{R}}_{\mathbf{i}(\mathbf{k})}$,则$\mathbf{BA}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{A}}_1^{\mathbf{r}}\\ {\mathbf{A}}_2^{\mathbf{r}}\\ ⋮\\ k{\mathbf{A}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{r}}\\ ⋮\\ {\mathbf{A}}_{\mathbf{m}}^{\mathbf{r}}\end{array}\right]$;
\qquad    \ \ \quad   (3)若$\mathbf{B}={\mathbf{R}}_{\mathbf{i}+\mathbf{j}(\mathbf{k})}$,则$\mathbf{BA}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{A}}_1^{\mathbf{r}}\\ {\mathbf{A}}_2^{\mathbf{r}}\\ ⋮\\ {\mathbf{A}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{r}}+k{\mathbf{A}}_{\mathbf{j}}^{\mathbf{r}}\\ ⋮\\ {\mathbf{A}}_{\mathbf{j}}^{\mathbf{r}}\\ ⋮\\ {\mathbf{A}}_{\mathbf{m}}^{\mathbf{r}}\end{array}\right]$;
\qquad    \ \ \quad   显然，左乘一个初等矩阵完成了一次相应的初等行变换。
\qquad    \ \ \quad   同样，对$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{c}{A}_1^c{A}_2^c\dots A_n^c\end{array}\right]$(按列分块)与$n$阶方阵$\mathbf{C}$有：

\qquad    \ \ \quad   $\mathbf{AC}={\left[\begin{array}{c}(c_{11}{\mathbf{A}}_1^{\mathbf{c}}+c_{21}{\mathbf{A}}_2^{\mathbf{c}}+\cdots +c_{n1}{\mathbf{A}}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{c}}{)}^T\\ (c_{12}{\mathbf{A}}_1^{\mathbf{c}}+c_{22}{\mathbf{A}}_2^{\mathbf{c}}+\cdots +c_{n2}{\mathbf{A}}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{c}}{)}^T\\ ⋮\\ (c_{1n}{\mathbf{A}}_1^{\mathbf{c}}+c_{2n}{\mathbf{A}}_2^{\mathbf{c}}+\cdots +c_{nn}{\mathbf{A}}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{c}}{)}^T\end{array}\right]}^T$

\qquad    \ \ \quad   (1)若$\mathbf{C}={\mathbf{C}}_{\mathbf{ij}}$,则$\mathbf{AC}=[{\mathbf{A}}_1^{\mathbf{c}},{\mathbf{A}}_2^{\mathbf{c}},\dots ,\underset{i}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{j}}^{\mathbf{c}}},\dots ,\underset{j}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{c}}},\dots ,{\mathbf{A}}_{\mathbf{m}}^{\mathbf{c}}]$;
\qquad    \ \ \quad   (2)若$\mathbf{C}={\mathbf{C}}_{\mathbf{i}(\mathbf{k})}$,则$\mathbf{AC}=[{\mathbf{A}}_1^{\mathbf{c}},{\mathbf{A}}_2^{\mathbf{c}},\dots ,\underset{i}{k{\mathbf{A}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{c}}},\dots ,{\mathbf{A}}_{\mathbf{m}}^{\mathbf{c}}{]}^T$;
\qquad    \ \ \quad   (3)若$\mathbf{C}={\mathbf{C}}_{\mathbf{i}+\mathbf{j}(\mathbf{k})}$,则$\mathbf{AC}=[{\mathbf{A}}_1^{\mathbf{c}},{\mathbf{A}}_2^{\mathbf{c}},\dots ,\underset{i}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{c}}},\dots ,\underset{j}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{j}}^{\mathbf{c}}+k{\mathbf{A}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{c}}},\dots ,{\mathbf{A}}_{\mathbf{m}}^{\mathbf{c}}{]}^T$.
\qquad    \ \ \quad   显然，右乘一个初等矩阵完成了一次相应的初等列变换。（证毕）

定理1.4：可逆矩阵可表示为有限个初等矩阵的乘积。

证明： \quad 设有$n$阶可逆矩阵$\mathbf{A}$,由定理1.3可知存在一系列初等矩阵使得：
\qquad   \ \quad \quad\quad  ${\mathbf{R}}_{\mathbf{p}}{\mathbf{R}}_{\mathbf{p}-1}\dots {\mathbf{R}}_2{\mathbf{R}}_1\mathbf{A}{\mathbf{C}}_1{\mathbf{C}}_2\dots {\mathbf{C}}_{\mathbf{q}-1}{\mathbf{C}}_{\mathbf{q}}=\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{\mathbf{r}}0\\ 00\end{array}\right]$ 其中，$r(\mathbf{A})=r$.
\qquad    \ \ \quad   由于$\mathbf{A}$与初等矩阵可逆(行列式非零)，则$\mathbf{B}$中不含零行或零列，则$r=n$（满秩矩阵），即
\qquad   \ \quad \quad\quad  ${\mathbf{R}}_{\mathbf{p}}{\mathbf{R}}_{\mathbf{p}-1}\dots {\mathbf{R}}_2{\mathbf{R}}_1\mathbf{A}{\mathbf{C}}_1{\mathbf{C}}_2\dots {\mathbf{C}}_{\mathbf{q}-1}{\mathbf{C}}_{\mathbf{q}}={\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}$

\qquad    \ \ \quad   $⟹$$\mathbf{A}={\mathbf{R}}_1^{-1}{\mathbf{R}}_2^{-1}\dots {\mathbf{R}}_{\mathbf{p}-1}^{-1}{\mathbf{R}}_{\mathbf{p}}^{-1}{\mathbf{C}}_{\mathbf{q}}^{-1}{\mathbf{C}}_{\mathbf{q}-1}^{-1}\dots {\mathbf{C}}_2^{-1}{\mathbf{C}}_1^{-1}$(证毕)

Remark: 考虑到行初等矩阵与列初等矩阵的对应关系，可逆矩阵可表示为仅含行（列）初等矩阵的乘积。

结合 定理1.1、定理1.3、定理1.4 定理1.2显然可以得证。

定义1.3：若$\mathbf{A}$经过行(列)初等变换可化为矩阵$\mathbf{B}$,则称$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$行(列)等价，若$\mathbf{A}$经过初等变换可化为矩阵$\mathbf{B}$,则称$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$等价。

结合矩阵等价的定义，以及定理1.3可知：
定理1.5：$m\times n$阶矩阵$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$等价 $⟺$ $\exists$ 可逆方阵${\mathbf{R}}_m$与${\mathbf{C}}_n$，$s.t.{\mathbf{R}}_{\mathbf{m}}\mathbf{A}{\mathbf{C}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{B}$

由此可知： 推论1.1：等价矩阵的秩相等。
反过来有： 定理1.6：同阶的秩等矩阵必等价。

证明：设$r({\mathbf{A}}_{m\times n})=r({\mathbf{B}}_{m\times n})=r$.
   \quad\ \ \quad   则存在可逆矩阵${\mathbf{R}}_m^A,{\mathbf{R}}_m^B,{\mathbf{C}}_n^A,{\mathbf{C}}_n^B$ 使得${\mathbf{R}}_{\mathbf{m}}^{\mathbf{A}}\mathbf{A}{\mathbf{C}}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{A}}={\mathbf{R}}_{\mathbf{m}}^{\mathbf{B}}\mathbf{B}{\mathbf{C}}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{B}}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{\mathbf{r}}0\\ 00\end{array}\right]$
   \quad\ \ \quad   那么$({{\mathbf{R}}_{\mathbf{m}}^{\mathbf{B}}}^{-1}{\mathbf{R}}_{\mathbf{m}}^{\mathbf{A}})\mathbf{A}({\mathbf{C}}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{A}}{{\mathbf{C}}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{B}}}^{-1})=\mathbf{RAC}=\mathbf{B}$,即$\mathbf{A},\mathbf{B}$等价。（证毕）

定理1.7：矩阵秩的不等式：

(1) r ( A ) + r ( B ) − q ≤ r ( A B ) ⏟ S y l v e s t e r 公式 ≤ m i n { r ( A ) , r ( B ) } \quad \underbrace{r(\bold A)+r(\bold B)-q\le r(\bold {AB})}_{Sylvester公式}\le min\{r(\bold A),r(\bold B)\} Sylvester公式 r(A)+r(B)−q≤r(AB)​​≤min{ r(A),r(B)} 其中，$q$为$\mathbf{A}$的列数或$\mathbf{B}$的行数；
(2)$|r(\mathbf{A})-r(\mathbf{B})|\le r(\mathbf{A}\pm \mathbf{B})\le r([\mathbf{A}\mathbf{B}])\le r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$.

证明：$(1)$设$r(\mathbf{A})=r_A$,$r(\mathbf{B})=r_B$.
\qquad     \ \ \ \quad\quad    则${\mathbf{R}}_{\mathbf{A}}\mathbf{A}{\mathbf{C}}_{\mathbf{A}}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{{\mathbf{r}}_{\mathbf{A}}}0\\ 00\end{array}\right]$，其中${\mathbf{R}}_{\mathbf{A}}$与${\mathbf{C}}_{\mathbf{A}}$可逆.

\qquad     \quad \quad\ \ \ \quad    ${\mathbf{R}}_{\mathbf{B}}\mathbf{B}{\mathbf{C}}_{\mathbf{B}}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{{\mathbf{r}}_{\mathbf{B}}}0\\ 00\end{array}\right]$，其中${\mathbf{R}}_{\mathbf{B}}$与${\mathbf{C}}_{\mathbf{B}}$可逆.
\qquad     \ \ \ \quad\quad    那么$$\begin{gathered} {\mathbf{A}}_{(\mathbf{p}\times \mathbf{q})}{\mathbf{B}}_{(\mathbf{q}\times \mathbf{l})}={{\mathbf{R}}_{\mathbf{A}}^{-1}}_{(\mathbf{p})}{\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{{\mathbf{r}}_{\mathbf{A}}}0\\ 00\end{array}\right]}_{(p\times q)}{{\mathbf{C}}_{\mathbf{A}}^{-1}}_{(q)}\mathbf{B} \\ ={\mathbf{R}}_{\mathbf{A}}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{{\mathbf{r}}_{\mathbf{A}}}0\\ 00\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{{\mathbf{M}}_1}_{(r_A\times l)}\\ {{\mathbf{M}}_2}_{((q-r_A)\times l)}\end{array}\right](矩阵行分块) \\ ={\mathbf{R}}_{\mathbf{A}}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\mathbf{M}}_1\\ 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

\qquad     \ \ \ \quad\quad    则$r(\mathbf{AB})=r({\mathbf{R}}_{\mathbf{A}}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\mathbf{M}}_1\\ 0\end{array}\right])=r(\left[\begin{array}{c}{\mathbf{M}}_1\\ 0\end{array}\right])=r({\mathbf{M}}_1)\le r_A=r(\mathbf{A})$

\qquad     \ \ \ \quad\quad    同理$$\begin{gathered} {\mathbf{A}}_{(\mathbf{p}\times \mathbf{q})}{\mathbf{B}}_{(\mathbf{q}\times \mathbf{l})}=\mathbf{A}{{\mathbf{R}}_{\mathbf{B}}^{-1}}_{(\mathbf{q})}{\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{{\mathbf{r}}_{\mathbf{B}}}0\\ 00\end{array}\right]}_{(q\times l)}{{\mathbf{C}}_{\mathbf{B}}^{-1}}_{(l)} \\ =\left[\begin{array}{c}{{\mathbf{N}}_1}_{(p\times r_B)}{{\mathbf{N}}_2}_{(p\times (q-r_B))}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{{\mathbf{r}}_{\mathbf{B}}}0\\ 00\end{array}\right]{\mathbf{C}}_{\mathbf{B}}^{-1}(矩阵列分块) \\ =\left[\begin{array}{c}{\mathbf{N}}_{1}0\end{array}\right]{\mathbf{C}}_{\mathbf{B}}^{-1} \end{gathered}$$

\qquad     \ \ \ \quad\quad    则$r(\mathbf{AB})=r(\left[\begin{array}{c}{\mathbf{N}}_{1}0\end{array}\right]{\mathbf{C}}_{\mathbf{B}}^{-1})=r(\left[\begin{array}{c}{\mathbf{N}}_{1}0\end{array}\right])=r({\mathbf{N}}_1)\le r_B=r(\mathbf{B})$

\qquad     \ \ \ \quad\quad    综上， r ( A B ) ≤ m i n { r ( A ) , r ( B ) } r(\bold{AB})\le min\{r(\bold A),r(\bold B)\} r(AB)≤min{ r(A),r(B)}

\qquad     \ \ \ \quad\quad    由于,$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{\mathbf{q}}0\\ -\mathbf{A}{\mathbf{I}}_{\mathbf{p}}\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{\mathbf{q}}\mathbf{B}\\ \mathbf{A}0\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{\mathbf{q}}-\mathbf{B}\\ 0{\mathbf{I}}_{\mathbf{l}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{\mathbf{q}}0\\ 0-\mathbf{AB}\end{array}\right]$

\qquad     \ \ \ \quad\quad    则$r(\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{\mathbf{q}}\mathbf{B}\\ \mathbf{A}0\end{array}\right])=r(\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{\mathbf{q}}0\\ 0-\mathbf{AB}\end{array}\right])=q+r(\mathbf{AB})=r(\left[\begin{array}{c}\mathbf{B}{\mathbf{I}}_{\mathbf{q}}\\ 0\mathbf{A}\end{array}\right])\ge r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$

\qquad     \ \ \ \quad\quad    则有$r(\mathbf{AB})\ge r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})-q$（证毕）

Remark：（1）准对角矩阵的秩等于对角块秩之和。
\quad
证明：首先证明：$$r(\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}0\\ 0\mathbf{B}\end{array}\right])=r(\left[\begin{array}{c}0\mathbf{A}\\ \mathbf{B}0\end{array}\right])=r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$$
   \ \ \qquad   对于${\mathbf{A}}_{\mathbf{m}\times \mathbf{n}},{\mathbf{B}}_{\mathbf{p}\times \mathbf{q}}$分别存在可逆矩阵 { R m 1 , C n 1 } , { R p 2 , C q 2 } \{\bold{R^1_m},\bold{C^1_n}\},\{\bold{R^2_p},\bold{C^2_q}\} { Rm1​,Cn1​},{ Rp2​,Cq2​}使得：
\quad
   \ \ \qquad   ${\mathbf{R}}_{\mathbf{m}}^1\mathbf{A}{\mathbf{C}}_{\mathbf{n}}^1=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{\mathbf{r}(\mathbf{A})}0\\ 00\end{array}\right]$; ${\mathbf{R}}_{\mathbf{p}}^2\mathbf{B}{\mathbf{C}}_{\mathbf{q}}^2=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{\mathbf{r}(\mathbf{B})}0\\ 00\end{array}\right]$
\quad
   \ \ \qquad   又$r(\left[\begin{array}{c}{\mathbf{R}}_{\mathbf{m}}^{1}0\\ 0{\mathbf{R}}_{\mathbf{p}}^2\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}0\\ 0\mathbf{B}\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{C}}_{\mathbf{n}}^{1}0\\ 0{\mathbf{C}}_{\mathbf{q}}^2\end{array}\right])=r(\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}0\\ 0\mathbf{B}\end{array}\right])=$$r(\left[\begin{array}{c}{\mathbf{R}}_{\mathbf{m}}^1\mathbf{A}{\mathbf{C}}_{\mathbf{n}}^{1}0\\ 0{\mathbf{R}}_{\mathbf{p}}^2\mathbf{B}{\mathbf{C}}_{\mathbf{q}}^2\end{array}\right])$
\quad
$=r(\left[\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{\mathbf{r}(\mathbf{A})}0\\ 00\end{array}\right)0\\ 0\left(\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{\mathbf{r}(\mathbf{B})}0\\ 00\end{array}\right)\end{array}\right])=r(A)+r(B)$
\quad
   \ \ \qquad   同理，$r(\left[\begin{array}{c}0{\mathbf{R}}_{\mathbf{p}}^2\\ {\mathbf{R}}_{\mathbf{m}}^{1}0\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}0\mathbf{A}\\ \mathbf{B}0\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{C}}_{\mathbf{q}}^{2}0\\ 0{\mathbf{C}}_{\mathbf{n}}^1\end{array}\right])=r(\left[\begin{array}{c}0\mathbf{A}\\ \mathbf{B}0\end{array}\right])=$$r(\left[\begin{array}{c}{\mathbf{R}}_{\mathbf{p}}^2\mathbf{B}{\mathbf{C}}_{\mathbf{q}}^{2}0\\ 0{\mathbf{R}}_{\mathbf{m}}^1\mathbf{A}{\mathbf{C}}_{\mathbf{n}}^1\end{array}\right])$
\quad
$=r(\left[\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{\mathbf{r}(\mathbf{B})}0\\ 00\end{array}\right)0\\ 0\left(\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{\mathbf{r}(\mathbf{A})}0\\ 00\end{array}\right)\end{array}\right])=r(A)+r(B)$
   \ \ \qquad   进一步可推知：$$r(\left[\begin{array}{cccccc}{A}_1& & & & & \\ & A_2& & & & \\ & & A_3& & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & A_{n-1}& \\ & & & & & A_n\end{array}\right])=r(\left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{ccccc}{A}_1& & & & \\ & A_2& & & \\ & & A_3& & \\ & & & \ddots & \\ & & & & A_{n-1}\end{array}\right]& \\ & A_n\end{array}\right])=r(\left[\begin{array}{ccccc}{A}_1& & & & \\ & A_2& & & \\ & & A_3& & \\ & & & \ddots & \\ & & & & A_{n-1}\end{array}\right])+r(A_n)=\cdots =\sum _{i=1}^{n}r(A_i)$$
\quad (证毕)
\quad
（2）准三角矩阵的秩等于对角块的秩之和
   \ \ \qquad   
证明：首先证明：$$r(\left[\begin{array}{cc}A& B\\ 0& C\end{array}\right])=r(\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ B& C\end{array}\right])=r(\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& C\end{array}\right])=r(A)+r(C)$$
   \ \ \qquad   对于准上(下)三角阵可通过简单的行变换变化为准对角矩阵，即：$$r(\left[\begin{array}{cc}{\left(\begin{array}{cccc}\ast & \ast & \dots & \ast \\ \ast & \ast & \dots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \ast & \ast & \dots & \ast \end{array}\right)}_{n_a\times n_a}& {\left(\begin{array}{cccc}\ast & \ast & \dots & \ast \\ \ast & \ast & \dots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \ast & \ast & \dots & \ast \end{array}\right)}_{n_a\times n_b}\\ 0& {\left(\begin{array}{cccc}\ast & \ast & \dots & \ast \\ \ast & \ast & \dots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \ast & \ast & \dots & \ast \end{array}\right)}_{n_b\times n_b}\end{array}\right])=r(\left[\begin{array}{cc}{\left(\begin{array}{cccc}\ast & \ast & \dots & \ast \\ 0& \ast & \dots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & \ast \end{array}\right)}_{n_a\times n_a}& {\left(\begin{array}{cccc}\ast & \ast & \dots & \ast \\ \ast & \ast & \dots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \ast & \ast & \dots & \ast \end{array}\right)}_{n_a\times n_b}\\ 0& {\left(\begin{array}{cccc}\ast & \ast & \dots & \ast \\ 0& \ast & \dots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & \ast \end{array}\right)}_{n_b\times n_b}\end{array}\right])=r(\left[\begin{array}{cc}{\left(\begin{array}{cccc}\ast & \ast & \dots & \ast \\ 0& \ast & \dots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & \ast \end{array}\right)}_{n_a\times n_a}& {\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & 0\\ 0& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0\end{array}\right)}_{n_a\times n_b}\\ 0& {\left(\begin{array}{cccc}\ast & 0& \dots & 0\\ 0& \ast & \dots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & \ast \end{array}\right)}_{n_b\times n_b}\end{array}\right])=r(\left[\begin{array}{cc}{A}^{\prime }& \\ & B^{\prime }\end{array}\right])=r(A^{\prime })+r(B^{\prime })=r(A)+r(B)$$
   \ \ \qquad   准下三角形同理，不多加赘述。
   \ \ \qquad   进一步推知:$$r(\left[\begin{array}{cccccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}& \dots & A_{1,n-1}& A_n\\ & A_{22}& A_{23}& \dots & A_{2,n-1}& A_{2,n}\\ & & A_{33}& \dots & A_{3,n-1}& A_{3,n}\\ & & & \ddots & ⋮& ⋮\\ & & & & A_{n-1,n-1}& A_{n-1,n}\\ & & & & & A_{n,n}\end{array}\right])=r(\left[\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{ccccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}& \dots & A_{1,n-1}\\ & A_{22}& A_{23}& \dots & A_{2,n-1}\\ & & A_{33}& \dots & A_{3,n-1}\\ & & & \ddots & ⋮\\ & & & & A_{n-1,n-1}\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}{A}_n\\ A_{2,n}\\ A_{3,n}\\ ⋮\\ A_{n-1,n}\end{array}\right)\\ 0& A_{nn}\end{array}\right])=r(\left[\begin{array}{ccccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}& \dots & A_{1,n-1}\\ & A_{22}& A_{23}& \dots & A_{2,n-1}\\ & & A_{33}& \dots & A_{3,n-1}\\ & & & \ddots & ⋮\\ & & & & A_{n-1,n-1}\end{array}\right])+r(A_{nn})=\cdots =\sum _{i=1}^{n}r(A_{ii})$$
   \ \ \qquad   (证毕)

$(2)$${\mathbf{A}}_{\mathbf{m}\times \mathbf{n}}\pm {\mathbf{B}}_{\mathbf{m}\times \mathbf{n}}=[\mathbf{A}⋮\mathbf{B}{]}_{\mathbf{m}\times 2n}\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}\\ \pm {\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}\end{array}\right]$
   \quad\quad\ \ \quad \quad   则$r(\mathbf{A}\pm \mathbf{B})\le r(\mathbf{A}⋮\mathbf{B})\le r(\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}\mathbf{B}\\ \mathbf{A}0\end{array}\right])orr(\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}\mathbf{B}\\ 0\mathbf{B}\end{array}\right])$

$=r(\left[\begin{array}{c}0\mathbf{B}\\ \mathbf{A}0\end{array}\right])orr(\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}0\\ 0\mathbf{B}\end{array}\right])$ （初等变换不改变矩阵的秩）

$=r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$

   \quad\quad\ \ \quad \quad   $r(\mathbf{A})=r((\mathbf{A}\pm \mathbf{B})\mp \mathbf{B})\le r(\mathbf{A}\pm \mathbf{B})+r(\mp \mathbf{B})=r(\mathbf{A}\pm \mathbf{B})+r(\mathbf{B})$

   \quad\quad\ \ \quad \quad   $r(\mathbf{B})=r((\mathbf{A}\pm \mathbf{B})\mp \mathbf{A})\le r(\mathbf{A}\pm \mathbf{B})+r(\mp \mathbf{A})=r(\mathbf{A}\pm \mathbf{B})+r(\mathbf{A})$

   \quad\quad\ \ \quad \quad   则，$|r(\mathbf{A})-r(\mathbf{B})|\le r(\mathbf{A}\pm \mathbf{B})$（证毕）