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前言

本文从使用图卷积网络的目的出发，先对图卷积网络的来源与公式做简要介绍，之后通过一个例子来代码实现图卷积网络。

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1. 理论部分

1.1 为什么会出现图卷积网络？

无论是CNN还是RNN，面对的都是规则的数据，面对图这种不规则的数据，原有网络无法对齐进行特征提取，而图这种数据在社会中广泛存在，需要设计一种方法对图数据进行提取，图卷积网络（Graph Convolutional Networks）的出现刚好解决了这一问题。

1.2 图卷积网络的推导过程

推导部分涉及通信相关知识，其主要核心是时域卷积等价于频域相乘，将时域卷积运算等价到频域进行相乘运算，再将相乘结果转化到时域。GCN的强悍之处在于，即使不训练，完全使用随机初始化的参数W，GCN提取出来的特征就以及十分优秀了。

1.3 图卷积网络的公式

公式由来请参考文献 图卷积网络(Graph Convolutional Networks, GCN)详细介绍，其网络的简易结构如下图所示。

图卷积的层与层之间的计算公式为：
$$H^{(l+1)}=\sigma ({\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}\tilde{A}{\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}{H}^{(l)}{W}^{(l)})$$
式中：

$\tilde{A}$:$\tilde{A}=A+I$,A为图的邻接矩阵，I为单位矩阵;
$\tilde{D}$:$\tilde{D}$为$\tilde{A}$的度矩阵(degree matrix)，表示每个结点度的数量，$D_{ii}={\sum }_{j=1}^i{A}_{ij}$;
H:每一层的特征，对于输入层，其是X；
$\sigma$:非线性激活函数；
W:连接层的权重参数；

2. 代码实现

在ASGCN中卷积层的计算公式为：
$$h_i^l=RelU(\frac{{\sum }_{j=1}^n{A}_{ij}{W}^l{g}_j^l)}{d_i+1}+b^l)$$
依据计算公式构建代码如下：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F

class GraphConvolution(nn.Module):
    """
    Simple GCN layer, similar to https://arxiv.org/abs/1609.02907
    """
    def __init__(self, in_features, out_features):
        super(GraphConvolution, self).__init__()
        self.in_features = in_features
        self.out_features = out_features
        self.weight = nn.Parameter(torch.FloatTensor(in_features, out_features))
        self.bias = nn.Parameter(torch.FloatTensor(out_features))

    def forward(self, text, adj):
        hidden = torch.matmul(text, self.weight) # 权重self.weight随机产生
        denom = torch.sum(adj, dim=1, keepdim=True) + 1  # 加一保证做除法时分母不为零
        output = torch.matmul(adj, hidden) / denom
        output = F.relu(output + self.bias)
        print(output)
        return output
def main():
    # 假设该句子经过构建依赖树后的邻接矩阵为adj
    adj =torch.tensor([
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 0., 0.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 1., 1., 0., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 0.],
        [0., 0., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 1.],
    ])
    # 假设一个句子中有10个单词，从前向后单词对应的索引为[0, 1, 2, 3, 3, 4, 6,0, 1, 2]
    input = torch.tensor([0, 1, 2, 3, 3, 4, 6,0, 1, 2], dtype=torch.long)
    embedding = torch.nn.Embedding(10, 50)
    x = embedding(input)  # 生成每个单词对应的词嵌入，维度为50
    gc1 = GraphConvolution(50, 10)
    gc1(x, adj)
if __name__ == '__main__':
    main()

输出:
tensor([[1.1561e+19, 6.8794e+11, 2.7253e+20, 3.0866e+29, 1.1547e+19, 4.1988e+07,3.0357e+32, 1.1547e+19, 6.4069e+02, 4.3066e+21],
[1.1561e+19, 6.8794e+11, 2.7253e+20, 3.0866e+29, 1.1547e+19, 4.1988e+07,3.0357e+32, 1.1547e+19, 6.4069e+02, 4.3066e+21],
[1.1561e+19, 6.8794e+11, 2.7253e+20, 3.0866e+29, 1.1547e+19, 4.1988e+07,3.0357e+32, 1.1547e+19, 6.4069e+02, 4.3066e+21],
[1.1561e+19, 6.8794e+11, 2.7253e+20, 3.0866e+29, 1.1547e+19, 4.1988e+07,3.0357e+32, 1.1547e+19, 6.4069e+02, 4.3066e+21],
[1.1561e+19, 6.8794e+11, 2.7253e+20, 3.0866e+29, 1.1547e+19, 4.1988e+07,3.0357e+32, 1.1547e+19, 6.4069e+02, 4.3066e+21],
[1.1561e+19, 6.8794e+11, 2.7253e+20, 3.0866e+29, 1.1547e+19, 4.1988e+07, 3.0357e+32, 1.1547e+19, 6.4069e+02, 4.3066e+21],
[1.1561e+19, 6.8794e+11, 2.7253e+20, 3.0866e+29, 1.1547e+19, 4.1988e+07,3.0357e+32, 1.1547e+19, 6.4069e+02, 4.3066e+21],
[1.1561e+19, 6.8794e+11, 2.7253e+20, 3.0866e+29, 1.1547e+19, 4.1988e+07,3.0357e+32, 1.1547e+19, 6.4069e+02, 4.3066e+21],
[1.1561e+19, 6.8794e+11, 2.7253e+20, 3.0866e+29, 1.1547e+19, 4.1988e+07, 3.0357e+32, 1.1547e+19, 6.4069e+02, 4.3066e+21],
[1.1561e+19, 6.8794e+11, 2.7253e+20, 3.0866e+29, 1.1547e+19, 4.1988e+07,3.0357e+32, 1.1547e+19, 6.4069e+02, 4.3066e+21]],
grad_fn=)

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参考资料

1. 图卷积网络 GCN Graph Convolutional Network（谱域GCN）的理解和详细推导
2. 图卷积网络(Graph Convolutional Networks, GCN)详细介绍