对偶(dual)这个词在优化理论中是相当常见的，在基础的数学课上我们学过条件极值的拉格朗日乘子法，在初步的运筹学中有线性规划的对偶算法，这里用到的对偶理论具体地称为拉格朗日对偶，就我看来是综合了分析中的拉格朗日乘子与线性对偶的结果。所谓对偶，就是将原问题变形为所谓的对偶问题，从而得到对原问题优化的估计，比如，最优值的下界，并利用某些性质侧面的得到原问题的解。最大熵模型和支持向量机是两个比较常见的利用对偶原理的例子。
下面我们暂时脱离支持向量机的问题，来看一般的拉格朗日对偶理论：
原始问题：
minx∈Rn f0(x)
s.t. fi(x)≤0, i=1,2,⋯,m
hi(x)=0, i=1,2,⋯,p
默认所考虑的定义域 D=⋂mi=0fi(x)∩⋂pi=1hi(x) 非空，并且记最优值为 p∗ （不一定可达，相当于取 inf ，事实上，似乎最优化问题一般不会具体去讨论确界可达性问题）。这里并没有假定任何函数是凸的。
相比较分析学中的条件极值，这里加入了不等式约束，我们仍然构建形式相同的拉格朗日函数：
L(x,λ,ν)=f0(x)+∑mi=1λifi(x)+∑pi=1νihi(x)
我们将 λi 称为第i个不等式约束 fi(x)≤0 的Lagrange乘子， νi 同理称为第i个等式约束 hi(x)=0 的Lagrange乘子。
接下来引入拉格朗日对偶函数：
对偶函数其实是拉格朗日函数的逐点下确界，它有一些很有用的性质。
1.对偶函数在 λ≥0 时构成了原问题最优值 p∗ 的下界，也就是 ∀λ≥0,ν,g(λ,ν)≤p∗ 。
这是容易证明的，对原始问题的任一可行点 x∗ ，我们有
L(x∗,λ,ν)=f0(x∗)+∑mi=1λifi(x∗)+∑pi=1νihi(x∗) =f0(x∗)+∑mi=1λi
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