递归这玩意儿，尤其是对于初学者，在数据结构和算法中归为“玄学”一类。咳咳，如果今天鹿哥能把这玄学的玩意儿讲明白，岂不是要上天。同样讲不明白的后果，鹿哥将会被后台的石锤大队石锤…

其实不学递归也没啥，但是学到后边会发现，什么 0-1 背包问题（动态规划内容，也可以用递归解决）、深度广度优先遍历、八皇后问题，回溯算法等，反正各种内容都会涉及到递归。所以，今天放句狠话，必须搞它，搞的它明明白白的。

（此篇调动全身的细胞去讲明白递归，虽然看起来很简单，但是给一个没有接触过递归的人讲懂很难）

什么是递归

对于玄学，绝不能用正常思维去搞它，那绝对是搞不它的。既然是玄学，那我们就采用玄学思维去理解和分析递归。

为啥叫它玄学？不是有多难，而是有些人，一看就明白，一用就是精髓。而有些人呢，比如我，一开始咋看咋觉得这东西就像是“黑洞”，递进去，就归不出来了。

划重点，递归，必须有递有归才叫递归。为了能够形象的代表一下，先了解一下递归的操作，小二，上动画。

从一个简单问题入手

要想搞懂递归，不能直接上手复杂的递归问题，而是先从一个简单的问题入手。

我们就拿排队打饭的例子，如果鹿哥要去餐厅，人太多，不得不去排队，但是此时我想知道自己是队伍中第几个，由于队伍太长，我看不到队伍的第一个人，自然而然没法一个个的数。

那么玄学递归排上用场了，我会让我前边的人依次问自己是当前第几个人，然后依次类推，直到问到第一个人，那么这个过程是“递”的过程。

第一个人不耐烦吼了一声，你眼X啊，没看到我是第一个人，正在打饭吗？

这个人吼了一声，这个就是所谓的终止条件，也就是递的终点。

此时，鹿哥肚子咕咕的叫了两声，当然，我现在还不知道自己是队伍第几个。此时队伍中的第二个人知道位置了，然后告诉第三个人，第三个人告诉第四个人…

最后，我前一个人告诉他目前在队伍中是第几个，那么鹿哥就知道自己此时的位置。很容易理解，这个过程就是“归”的过程。

遇到的问题

由此看来，鹿哥的道德素质没的说，从来不插队，而且还能理解递归，一个字“骚”，两个字“真骚”。

这时候有人要说了，这个过程俺早就理解了，但是对于有些递归问题和代码，脑子里总是想不明白层层嵌套的过程，而且总是想着想着就递进去，归不出来了，哎，我这脑子，是不是很笨呢。

鹿哥告诉大家，其实不用担心，凡事都要有个过程，要有个思想转化的过程，要用心去感受，感受它的抚摸，感受它带给你的快感。

这时候，很多人的告诉你的解决办法是，不要去想这个过程，要去寻找终止条件和递推公式，然后按照套路写出代码。

嗯~ 对~，鹿哥认为上边确实说的没错，但是这类玄学玩家并没有搞明白为什么初学者往往去想这个过程，进入这个过程圈套呢？

鹿哥想了一想，结合自己学习递归的经验，越是想不明白，就越想弄明白递归过程，这不叫刨根问底，这叫“骚气风发”。

假如我们搞明白一次递归的整个过程，那么以后遇到其他的递归就无需去想这个过程了，因为其他的递归几乎一样的套路，我们心理上接受之后，假装自己知道了所有的递归过程，以后再遇递归，不再去想这个过程，而是直接按照公式套用不就 OK 了吗？

鹿哥，你说起来容易，你能用什么方法让我们这些刚接触过递归的人明白这个递归过程。其实这件事困扰了鹿哥好久，作为一个为被称为写文风骚，动画风骚的鹿哥，今天斗胆尝试一下，看懂了就给我疯狂在底部点赞，把鹿哥按到地上摩擦，这才能凸显出鹿哥的 Sao 气。

用动画理解递归

继续拿排队那个例子，我们已经知道了终止条件和层与层之间的关系。

终止条件为：f(1) = 1，也就是第一个人知道自己的位置的。然后层与层之间的关系为 + 1 的关系，也就是说求第 n 个人在队伍中的位置 f(n)，那么就问一下前一个人，也就是 n-1 在队伍当中的位置 f(n-1) 加上 1，也就是 f(n-1) + 1。

有点绕口，咱们看完整的实现代码：

如果你还是有点懵逼的话，还是不能理解整个程序的运作，小二，上图解和动画。

上边的动画是我们人脑的理解，而下边的动画才是程序真正的调用过程。

每个颜色的方块代表的是该每一层递归的函数，而程序是自上而下执行滴，也就是下边这种形式。

如果你理解函数的执行过程就是入栈过程的话，其实递归就是不断入栈的过程，然后最里层的函数执行完毕，然后函数依次出栈。

如果你寥寥草草的阅读完毕，并没有感觉看懂递归过程，这可真不怪你们鹿哥了，你鹿哥已经尽力用动画去还原程序递归过程和大脑的递归过程了。

光说不练假把式

如果上边你能够吃透，那么下面的那些题型以及以后的文章所提到的各种有关递归的过程，真的不在话下。有时候只是换了一个角度理解，换了一个角度理解，换了一个角度理解，鹿哥重要的 Sao 话说三遍。

再来一个叫什么斐波那契数列的那家伙，杠杠滴。找规律 0、1、1、2、3、5、8、13、21… 没错，除了第一第二个，剩余的数据都是前两个数据之和，那么求第 n 个数据是多少？

其实这个问题对你来说已经小 K 死了，就是换了个模样，前两个数不就是换了一个问法，也就是上边排队的时候，鹿哥前边两个人嘛？一个叫 n-1 一个叫 n-2，终止条件变成两个窗口，同时给第一个人和第二个人打饭，也就是 f(1) = 0，f(2) = 1。

直接出结果，代码如下：

我会变形，专门误导你

其实相同的递归公式确有不同的理解方式，这你敢信？难道这就是递归归为玄学的地方，不信你看，下面说来就来了。

一个蛤蟆二条腿_{，两只蛤蟆四条腿} 三只…，不对，应该是蛤蟆一次可能跳上一个台阶，也有可能一次跳两个台阶，那么 n 个台阶，有几种跳跃方式呢？

这个咋就和上边排队不一样了呢？嗯，不知道如何理解和下手。

其实这个数蛤蟆腿，不对，这个蛤蟆跳台阶的问题只不过换了一种思考方式，我们来看这种思想是如何绕晕我们的。

一个台阶，只存在一种可能，那就是让蛤蟆跳一次。二个台阶，有两种可能，那就是让蛤蟆一次只跳一个台阶，或者一次性挑两个台阶。那么三个台阶，你自己数数去吧，我就不啰嗦了。

那么 n 个台阶有几次可能，这样一个个数太费劲，我们换种思想，也就是递归的思想。我们将蛤蟆跳台阶分为 m 次跳上去。第一次跳，有两种方式，那就是要么一次性跳一个台阶，剩余的 n-1 个台阶我先不管。或者第一次跳两个台阶，剩余的 n-2 个台阶我暂时不管。

如果 f（n） = m，也就是当前有多少次跳法。我想把上边的两种相加，剩余的暂时先不管，也就是 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

那么神奇的一刻就要来了，n 个台阶，我决定了第一次只跳一个台阶之后，那剩余 n-1 个台阶的每个台阶就会面临同样的选择。如果我决定了第一次只跳 2 个台阶之后，那么剩余的 n-2 个台阶的每个台阶也会面临同样的选择。

蛤蟆的的第一次就这样交在鹿哥手中，要么你第一次跳一个，要么跳两个，想一步登天吃天鹅肉，没门。剩余的 f(n-1) 和 f(n-2) 面临同样的选择呀。

只要把 f(n - 1) + f(n - 2) 相加，就是 n 个台阶有几种跳法了。我知道，大部分初学者还是不理解这个思想，图解来一波。

思考总结

你会发现蛤蟆跳台阶的问题，得出来的递推公式竟然和斐波那契数列的递推公式竟然相同，但是终止条件不同的。

这时你必须像鹿哥一样陷入玄学递归的大思考，同样的一个递推公式，竟然有两种思想，感觉这世界还有这么 TM 神奇的事情，这两者让我陷入了对人生的大思考…

今天的递归基础理解内容就到这里了，后边还会继续分享更复杂的递归，虽然表面上假装让它复杂，但是就是换汤不换药，比如深度广度优先遍历，八皇后问题，回溯算法等，都是和今天分享的八九不离十，最重要的是多去思考和感悟以及总结，这个过程值的你去做。

骚气的鹿哥写文不易啊，不要手下留赞，因为这将决定下一篇你鹿哥输出的动力，点了赞你就是鹿哥的人，鹿哥今后罩着你。

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