技术标签： 动态规划 Keson's Think
动态规划（dynamic programming）与分治算法相似，都是通过组合子问题的解来求解原问题。区别在于，分治算法是将原问题划分为互不相交的子问题，递归求解子问题，再把它们的解组合起来，求出原问题的解；动态规划应用于子问题重叠的情况，即不同的子问题具有公共的子问题（子问题的求解是递归进行的，将其划分为更小的子子问题），在这种情况下，分治算法会反复求解那些公共的子问题，而动态规划算法对每个子子问题只求解一次，将其保存在一个表格中，从而无需每次都求解一个子问题都重新计算，查表即可。
动态规划通常用来求解最优化问题，通常按以下4个步骤来设计一个动态规划算法：
（1）刻画一个最优解的结构特征
（2）递归地定义最优解的值
（3）计算最优解的值，通常采用自低向上的方法
（4）利用计算出的信息构造一个最优解
我们应用动态规划的第一个例子是钢条切割的问题：
| 长度i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 价格 | 1 | 5 | 8 | 9 | 10 | 17 | 17 | 20 | 24 | 30 |
钢条切割问题是这样的：
给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表 pi ，求钢条的切割方案，使得销售收益 rn 最大。
问题定义为:
直接的求解方法为：
CUT-ROD(p,n)
if n==0
return 0
q=INT_MIN
for i=1 to n
q=max(q,p[i]+CUT-ROD(p,n-i))
return q这种直接的方法的问题在于对相同的子问题进行了多次求解，运行时间为 2n−1
动态规划方法会仔细安排求解顺序，对每个子问题只求解一次，并将其结果保存下来，如果随后再次需要此子问题的解，只需查找保存的结果，而不必重复计算。一般，我们采用自底向上(bottom-up)的方法
vector<int> steelCut(vector<int> &p,int n){
vector<int> ret(n+1,0);
for(int j=1;j<=n;j++){
int q=INT_MIN;
for(int i=1;i<=j;i++)
q=std::max(q,p[i]+ret[j-i]);
ret[j]=q;
}
return ret;
}动态规划最最重要的两个问题是状态和状态转移方程！！状态ret[i]表示长度为i的钢条的最大效益！
状态转移方程就是
q=std::max(q,p[i]+ret[j-i])其中ret[j-i]中保存的就是比j规模小的问题的解，这样可以避免重复求解！
总结：
动态规划问题的两个性质是
1.为了求解规模为n的原问题，我们先求解形式完全一样，但规模更小的子问题，我们通过组合两个子问题的最优解，并在所有可能的两段切割方案中选取组合收益最大者，构成原问题的最优解，我们称此满足最优子结构性质
2.子问题存在重叠，可通过自底而上求解子问题并保存结果来避免重复计算
动态规划对应最重要的两个关键点是:
1.状态方程
2.状态转移方程
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