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一、卡尔曼滤波kalman三维机动目标跟踪简介

卡尔曼滤波是一种用于处理具有噪声的动态系统的数学方法。它最初是为了跟踪飞机、导弹和航天器的位置和速度而开发的。卡尔曼滤波在轨迹跟踪、控制系统和机器人导航等领域得到了广泛应用。本文将介绍基于卡尔曼滤波的轨迹跟踪的原理、实现步骤和应用。

1 卡尔曼滤波简介
卡尔曼滤波是一种用于估计线性动态系统状态的数学方法。它基于贝叶斯定理，通过对系统状态的预测和测量结果的更新来估计系统状态。卡尔曼滤波的核心思想是利用先验信息和后验信息来优化系统状态的估计。先验信息是指系统状态的先前估计，后验信息是指基于新的测量结果更新后的估计。
卡尔曼滤波将系统的状态表示为一个向量，包含系统的位置、速度和加速度等信息。这个向量被称为状态向量。卡尔曼滤波的主要步骤包括预测和更新：
预测：根据系统的动态模型和先前的状态估计，预测系统的下一个状态。预测的过程包括两个步骤：状态预测和协方差预测。状态预测是利用系统的动态模型和先前的状态估计来预测系统的下一个状态。协方差预测是利用状态预测和系统的噪声模型来预测系统状态的不确定性。
更新：利用新的测量结果来更新预测的状态估计。更新的过程包括两个步骤：计算卡尔曼增益和更新状态估计。卡尔曼增益是利用协方差预测和测量噪声模型来计算的，它表示测量结果对状态估计的权重。更新状态估计是利用卡尔曼增益和测量结果来更新先前的状态估计。
卡尔曼滤波的优点是能够处理具有噪声的测量结果，并且能够利用系统的动态模型进行状态估计。它的缺点是需要对系统的动态模型和测量噪声模型进行准确的建模，并且对于非线性系统和非高斯噪声模型，需要使用扩展卡尔曼滤波或无迹卡尔曼滤波等方法进行处理。

2 基于卡尔曼滤波的轨迹跟踪
基于卡尔曼滤波的轨迹跟踪是一种利用卡尔曼滤波进行目标位置估计的方法。它将目标的运动模型表示为一组线性方程，利用卡尔曼滤波对目标位置进行估计和预测。基于卡尔曼滤波的轨迹跟踪的应用非常广泛，包括自动驾驶、无人机导航、机器人视觉导航等领域。
在轨迹跟踪中，需要估计目标的位置、速度和加速度等状态量。然而，由于目标的运动不确定性和测量噪声的存在，目标的真实状态很难被准确地测量。因此，需要利用卡尔曼滤波来对目标状态进行估计和预测。

轨迹跟踪的算法流程
基于卡尔曼滤波的轨迹跟踪主要包括以下步骤：
（1）初始化：确定目标的初始位置和速度，并建立状态向量和协方差矩阵。
（2）预测：利用目标的运动模型和先前的状态估计，预测目标的下一个状态。
（3）测量：利用传感器测量目标的位置。
（4）更新：利用卡尔曼滤波的公式，将测量结果与预测结果结合，得到更新后的状态估计和协方差矩阵。
（5）重复步骤（2）至（4）以实现连续的轨迹跟踪。
具体而言，轨迹跟踪的算法流程如下：

（1）初始化
在轨迹跟踪开始时，需要确定目标的初始位置和速度，并建立状态向量和协方差矩阵。状态向量通常包含目标的位置、速度和加速度等信息，而协方差矩阵用于表示状态估计的不确定性。
（2）预测：
利用目标的运动模型和先前的状态估计，预测目标的下一个状态。目标的运动模型可以通过目标的历史运动数据来确定，通常假设目标的运动是匀加速运动或匀速运动。假设目标在时刻 t 的状态向量为 x(t)，则可以利用以下公式进行预测：
$x(t+1)=F\cdot x(t)+B\cdot u(t)+w(t)$
其中，F是状态转移矩阵，B是控制矩阵，u(t)是控制向量，w(t)是过程噪声，用于表示运动模型的不确定性。
协方差矩阵的预测可以通过以下公式计算：
$P(t+1)=F\cdot P(t)\cdot F^T+Q$
其中，P(t)是先前状态估计的协方差矩阵，Q是过程噪声的协方差矩阵，用于表示状态估计的不确定性。
（3）测量：
利用传感器测量目标的位置，得到测量向量z(t)。测量向量通常包含目标的位置信息，但也可能包含其他信息，如目标的大小和形状等。
（4）更新：
利用卡尔曼滤波的公式，将测量结果与预测结果结合，得到更新后的状态估计和协方差矩阵。

二、部分源代码

function main()
%产生观测数据
total=3*60;%总的时间长度
global T;%采样周期
T=1;
N=total/T;%数据长度
a=20;
var_rx=100;
var_ry=100;

X=[];%观测数据
X_ideal=[];%理想数据

for i=1:N
[rx,ry]=track(iT,20);
X_ideal=[X_ideal,[rx;ry]];
rx=rx+var_rxrandn(1,1);
ry=ry+var_ry*randn(1,1);
X=[X,[rx;ry]];
end

X_filter=zeros(size(X));%滤波后数据
X_mean=X_filter;%蒙特卡洛平均数据
Error_var=zeros(size(X));
M=10;%蒙特卡洛仿真次数

for iCount=1:M
X_filter=Trace(X);
X_mean=X_mean+X_filter;
Error_var=Error_var+(X_ideal-X_filter).^2;
end

X_mean=X_mean/M;
Error_var=Error_var/M;
Error_mean=X_ideal-X_mean;%误差均值
Error_var=sqrt(Error_var-Error_mean.^2);

plot(X_ideal(1,:),X_ideal(2,:),X(1,:),X(2,:),X_mean(1,:),X_mean(2,:));
axis equal;
legend(‘理想轨迹’,‘观测轨迹’,‘滤波轨迹’);

figure;
k=1:N;
subplot(2,1,1),plot(k,Error_mean(1,:));title(‘x方向误差均值’);xlabel(‘采样次数’),ylabel(‘误差均值(米)’);
subplot(2,1,2),plot(k,Error_var(1,:));title(‘x方向误差标准值’);xlabel(‘采样次数’),ylabel(‘误差标准值(米)’);

figure;
subplot(2,1,1),plot(k,Error_mean(2,:));title(‘y方向误差均值’);xlabel(‘采样次数’),ylabel(‘误差均值(米)’);
subplot(2,1,2),plot(k,Error_var(2,:));title(‘y方向误差标准值’);xlabel(‘采样次数’),ylabel(‘误差标准值(米)’);

%@subfunction
%理想航迹方程
function [x,y]=track(t,a)
%parameter:
% t:时间
% x:横轴位移
% y:纵轴位移
% a:转弯处加速度
% r:初始位置
% v:初始速度

r=[-20000,0]';
v=300;
w=a/v;%角速度
t1=-r(1)/v;
t2=t1+pi/w;
D=v^2/a2;%圆周运动直径
if t<=0
x=-20000,y=0;
elseif t>0&&t<=t1
x=r(1)+vt;
y=r(2);
elseif t>t1&&t<=t2
angel=(t-t1)w;
x=D/2sin(angel);
y=-D*(sin(angel/2))^2;
else
x=-v*(t-t2);
y=-D;
end

function R=Trace(X)
%@project:飞行器跟踪模拟
%@author:fantasy
%@date:2006.5.10
%@parameter:
% X:观测数据
% R:输出坐标

%观测时间间隔
global T;

%观测矩阵
H=[1,0,0,0,0;…
0,1,0,0,0];

%位移测量误差
var_rx=100;
var_ry=100;
var_rx2=var_rx^2;
var_ry2=var_ry^2;

%观测噪声协方差矩阵
C=[var_rx2,0;…
0,var_ry2];

%驱动噪声协方差矩阵
var_v=30;
var_a=5;
var_v2=var_v^2;
var_a2=var_a^2;

Q=zeros(5,5);
Q(4,4)=var_v2;
Q(5,5)=var_a2;

%初始状态
s0=[-10000,2000,0,300,0]';

%Kalman滤波跟踪
N=size(X,2);%观测数据长度
s=s0;
a=@traverse;
M=Q;
Xplus=[];%修正后的航迹
for icurrent=1:N
[s,M]=Karlman(s,M,X(:,icurrent),a,Q,C,H);
Xplus=[Xplus;(s(1:2))'];
end

%可视化数据
% plot(X(1,:),X(2,:),‘r.’);
% axis(‘equal’);
% hold on;
% plot(Xplus(:,1),Xplus(:,2));

R=Xplus’;

function s_estimate=traverse(s)
%状态方程
%s=[rx,ry,theta,v,a]
global T;
s_estimate=zeros(5,1);
s_estimate(1)=s(1)+s(4)*cos(s(3))*T;
s_estimate(2)=s(2)-s(4)*sin(s(3))*T;
s_estimate(3)=s(3)+(s(5)/s(4))*T;
s_estimate(4)=s(4);
s_estimate(5)=s(5);

function [s,M]=Karlman(s_forward,M_forward,X,a,Q,C,H)
%卡尔曼滤波
%@author:fantasy
%@date:2006.5.15
%参数说明
% X–观测数据矢量
% A–状态矩阵

% Q–驱动噪声协方差
% C–观测噪声协方差
% h–观测方程句柄
% s–输出数据矢量
% s_foward–前次输出矢量
% M–前次预测矩阵
global T;
%预测
s=feval(a,s_forward);

%状态转换矩阵

% A=[1,0,-s(4)/2*sin(s(3)/2)*T,cos(s(3)/2)T,0;…
% 0,1,-s(4)/2cos(s(3)/2)*T,-sin(s(3)/2)*T,0;…
% 0,0,1,-s(5)*T/(s(4))^2,T/s(4);…
% 0,0,0,1,0;…
% 0,0,0,0,1];

A=[1,0,-s(4)*sin(s(3))*T,cos(s(3))*T,0;…
0,1,-s(4)*cos(s(3))*T,-sin(s(3))*T,0;…
0,0,1,-s(5)*T/(s(4))^2,T/s(4);…
0,0,0,1,0;…
0,0,0,0,1];

%最小预测MSE矩阵
M=M_forward;
M=AMA’+Q;

%卡尔曼增益矩阵
K=MH’inv(C+HMH’);

%修正
s=s+K*(X-H*s);

%最小MSE矩阵
M=M-KHM;

三、运行结果

四、matlab版本及参考文献

1 matlab版本
2014a

2 参考文献
[1]宁倩慧,张艳兵,刘莉,陆真,郭冰陶.扩展卡尔曼滤波的目标跟踪优化算法[J].探测与控制学报. 2016,38(01)

3 备注
简介此部分摘自互联网，仅供参考，若侵权，联系删除

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10 雷达方面
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