雅克比矩阵求导推导_雅可比求导-程序员宅基地

首先，引入雅克比矩阵公式：

$\mathbf{J}=\left[\begin{array}{c} \begin{array}{lll}\mathbf{u}_{1} & \mathbf{u}_{2} & \cdots & \mathbf{u}_{n}\end{array} \\ \begin{array}{lll}\mathbf{e}_{1} & \mathbf{e}_{2} & \cdots & \mathbf{e}_{n}\end{array}\end{array}\right]$

$\dot{\mathbf{J}}=\left[\begin{array}{c} \begin{array}{lll}\dot{\mathbf{u}}_{1} & \dot{\mathbf{u}}_{2} & \cdots & \dot{\mathbf{u}}_{n}\end{array} \\ \begin{array}{lll}\dot{\mathbf{e}}_{1} & \dot{\mathbf{e}}_{2} & \cdots & \dot{\mathbf{e}}_{n}\end{array}\end{array}\right]$

其中 $\mathbf{u}_{i}=\mathbf{e}_{i} \times \mathbf{r}_{i}$ ， $\dot{\mathbf{u}}_{i}=\dot{\mathbf{e}}_{i} \times \mathbf{r}_{i}+\mathbf{e}_{i} \times \dot{\mathbf{r}}_{i}$

在这里插入图片描述

为了求得 $\dot{\mathbf{J}}$ ,我们已知 $\mathbf{e}_{i}$ 、 $\mathbf{r}_{i}$

$\mathbf{e}_{i}$ :坐标系{i}的Z轴单位方向向量在基坐标系下{0}下的坐标，由 $T_{\mathrm{i}}^{0}$ 的第三列的前三个元素给出

$\mathbf{r}_{i}$ ： $\mathbf{r}_{i}=\mathbf{o}_{e}^{0}-\mathbf{o}_{i}^{0}$

$\mathbf{o}_{i}^{0}$ 为坐标系{i}原点在基坐标{0}下的三维坐标，由 $T_{\mathrm{i}}^{0}$ 的第四列的前三个元素给出

$\mathbf{r}_{i}$ 为在基坐标系下，坐标系{i}原点到末端点的距离

$\mathbf{r}_{i}$ 还有另一种表示方式： $\mathbf{r}_{i}=\mathbf{a}_{i}+\mathbf{a}_{i+1}+\cdots +\mathbf{a}_{n}$ (式中的 $\mathbf{a}_{i}$ 必须化为基坐标下表示)

其中 $\mathbf{a}_{i}^{i}$ 为坐标系{i+1}的原点在坐标系{i}下的三维坐标，由 $T_{\mathrm{i+i}}^{i}$ 的的第四列的前三个元素给出，若要化为基坐标下表示，需乘以一个旋转变换矩阵 $\mathbf{R}_{i}^{0}$

需要我们求： $\dot{\mathbf{e}}_{i}$ 、 $\dot{\mathbf{r}}_{i}$

其中 $\dot{\mathbf{e}}_{i}=\boldsymbol{\omega}_{i} \times \mathbf{e}_{i}$ 、 $\dot{\mathbf{r}}_{i}=\boldsymbol{\omega}_{i} \times \mathbf{a}_{i}+\boldsymbol{\omega}_{i+1} \times \mathbf{a}_{i+1}+\cdots+\boldsymbol{\omega}_{n} \times \mathbf{a}_{n}$

求解 $\boldsymbol{\omega}_{i}$ ：

$\boldsymbol{\omega}_{i+1}^{i+1}=\mathbf{R}_{i}^{i+1} \boldsymbol{\omega}_{i}^{i}+\dot{\theta}_{i+1} \mathbf{z}_{i+1}^{i+1}$

$\boldsymbol{\omega}_{i+1}=\mathbf{R}_{i+1}^{0}\boldsymbol{\omega}_{i+1}^{i+1}$

可以求得 $\dot{\mathbf{e}}_{i}$ ：

$\dot{\mathbf{e}}_{i}=\boldsymbol{\omega}_{i} \times \mathbf{e}_{i}$

也可求得 $\dot{\mathbf{r}}_{i}$ ：

$\dot{\mathbf{r}}_{i}=\boldsymbol{\omega}_{i} \times \mathbf{a}_{i}+\boldsymbol{\omega}_{i+1} \times \mathbf{a}_{i+1}+\cdots+\boldsymbol{\omega}_{n} \times \mathbf{a}_{n}$

综上，所有参数求得，最后求得

$\dot{\mathbf{u}}_{i}=\dot{\mathbf{e}}_{i} \times \mathbf{r}_{i}+\mathbf{e}_{i} \times \dot{\mathbf{r}}_{i}$

参考文献：《Fundamentals of Robotic Mechanical Systems》5.5节

matlab seriaLink 也有相应的求雅克比矩阵的函数 jacob_dot （注：该函数求的是雅克比矩阵导数与关节速度的乘积，即 $\dot{\mathbf{J}}\dot{\mathbf{q}}$ ）

本文链接：https://blog.csdn.net/Pi_soso/article/details/121012109

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